En la teoría de conjuntos axiomáticos, hay dos tipos de clases: conjuntos y clases propias. Las clases adecuadas pueden considerarse una colección de conjuntos que es “demasiado grande” para ser un conjunto. En este contexto, “demasiado grande” significa que si uno considerara la clase adecuada como un conjunto, entonces se produciría una contradicción con los axiomas de la teoría de conjuntos elegidos. Ejemplos de clases adecuadas en ZFC y NBG Set Theory son el universo de Von Neumann, el universo constructivo, la clase de todos los conjuntos de singleton y la clase de todos los conjuntos. Técnicamente, en la teoría de conjuntos de ZFC, las clases adecuadas no existen realmente dentro de la teoría, son meramente una abreviatura de fórmulas lógicas que “ seleccionan ” una colección de conjuntos a través de la relativización. En la teoría de conjuntos de NBG, existen clases apropiadas, pero no existe una clase de clases apropiadas.
Ahora, para responder a su pregunta, en la teoría de conjuntos ZFC, solo existe una clase de clase de objetos si ‘clase’ en ambos casos significa ‘conjunto’ y no la clase adecuada. A veces, podría considerar una clase adecuada de conjuntos, pero este es solo un ejemplo de la taquigrafía que mencioné. En la teoría de conjuntos de NBG, una clase de clase de objetos solo existe si es una clase (propia o no) de conjuntos de objetos.
Podría inventar un conjunto de axiomas que permita conjuntos, clases de conjuntos, clases de clases de conjuntos, pero ¿por qué detenerse allí? Tal teoría probablemente solo reproduciría una teoría de tipos.
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