Si [math] ab = n [/ math], entonces [math] a [/ math] divide [math] n [/ math]. Dado un divisor [matemático] a [/ matemático] de [matemático] n [/ matemático], [matemático] b = \ frac {n} {a} [/ matemático] es nuevamente un divisor de [matemático] n [/ matemático ] Por lo tanto, hay una [matemática] b [/ matemática] única para cada [matemática] a [/ matemática] que divide [matemática] n [/ matemática]. Por lo tanto, el número de pares ordenados [matemática] (a, b) [/ matemática] con [matemática] ab = n [/ matemática] y [matemática] a, b \ in \ mathbb Z [/ matemática] es [matemática] 2 \, d (n) [/ math], donde [math] d (n) [/ math] denota el número de divisores positivos de [math] n [/ math]. En el caso de [math] a, b \ in \ mathbb N [/ math], el número de tales pares es [math] d (n) [/ math].
Observe que [matemáticas] d (1) = 1 [/ matemáticas]. Con [math] n = p_1 ^ {e_1} \ cdots p_k ^ {e_k} [/ math], donde los [math] p_i [/ math] son primos distintos, [math] d (n) = (e_1 + 1) \ cdots (e_k + 1) [/ math]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]
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