Cómo trazar una función seno en el camino trazado por otra función La tecnología cambia la vida futura

Cómo trazar una función seno en el camino trazado por otra función

Se ve en su boceto como si quisiera que la onda sinusoidal esté orientada en un sentido perpendicular al camino. En general (e incluso en el ejemplo específico que diste), esto no va a ser una función de x. Entonces, en cambio, podemos definirlo paramétricamente. Comenzaré con su función como ejemplo. Defina [matemáticas] \ vec {r} (t) = t \ hat {\ imath} + e ^ t \ hat {\ jmath} [/ math]. Entonces, [math] \ vec {r} ‘(t) = \ hat {\ imath} + e ^ t \ hat {\ jmath} [/ math]. Desea una onda sinusoidal perpendicular a este vector. Entonces, simplemente tomamos una onda sinusoidal y la multiplicamos por un vector perpendicular a ella (así como normalizado) y obtenemos [matemáticas] \ vec {s} (t) = \ vec {r} (t) + \ frac {\ sin t} {\ sqrt {1 + e ^ {2t}}} \ left (-e ^ t \ hat {\ imath} + \ hat {\ jmath} \ right) [/ math]
Para hacerlo aún mejor, querrás tomar el seno de la longitud del arco en lugar del parámetro:
[matemáticas] \ vec {s} (t) = \ vec {r} (t) + \ frac {\ sin \ left (\ int \ sqrt {1 + e ^ {2t}} \, dt \ right)} { \ sqrt {1 + e ^ {2t}}} \ left (-e ^ t \ hat {\ imath} + \ hat {\ jmath} \ right) [/ math]
Tenga en cuenta que esto incluye automáticamente un cambio de fase para la sinusoide en forma de una constante de integración.

Actualizar:

Aquí hay una implementación de Mathematica. Agregué Quiet porque NIntegrate se quejaba, pero funciona de todos modos.

r [t_]: = {t, Exp [t]};
dr [t_]: = D [r [x], x] /. {x -> t};
perp [t_]: = {-dr [t] [[2]], dr [t] [[1]]};
Silencioso [ParametricPlot [
r [t] + Sin [3 NIntegrate [Norma [dr [x]], {x, -5, N [t]}]] /
Norma [dr [t]] perp [t], {t, -5, 3}]]