“Cierre” por sí solo no tiene sentido; cierra la relación con respecto a alguna propiedad. Por lo general, hace esto con una relación binaria en un solo conjunto, [matemática] R \ subseteq A ^ 2 [/ matemática], en lugar de entre conjuntos distintos [matemática] R \ subseteq A \ veces B [/ matemática]. Para una relación en un solo conjunto, puede cerrar con respecto a:
– reflexividad – [matemáticas] \ forall x \ en A, \ (x, x) \ en R [/ matemáticas];
– simetría – [matemática] \ para toda x, y \ en A, \ (x, y) \ en R \ Rightarrow (y, x) \ en R [/ matemática];
– transitividad – [matemática] \ para todos x, y, z \ en A, \ (x, y), (y, z) \ en R \ Rightarrow (x, z) \ en R [/ matemática];
– (quizás entre otras propiedades).
A menudo, los cierres se utilizan para proporcionar una abreviatura para describir una relación, como un ordenamiento parcial (reflexivo, antisimétrico, transitivo) o una relación de equivalencia (reflexiva, simétrica, transitiva). Digamos que quiero describir el orden parcial [matemática] x \ preceq y \ preceq z [/ matemática] en el conjunto [matemática] \ {x, y, z \} [/ matemática]. Como relación, este es el conjunto
[matemáticas] \ {(x, x), (y, y), (z, z), (x, y), (x, z), (y, z) \} [/ matemáticas]. Pero esto es simplemente el cierre de la relación.
[matemáticas] \ {(x, y), (y, z) \} [/ matemáticas]
bajo reflexividad y transitividad (no puede cerrar bajo antisimetría, ya que requeriría eliminar elementos, en lugar de agregarlos).
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En caso de que no esté claro en la definición de cierre, aquí hay más (leí mal la pregunta, y no voy a eliminarla ahora).
El cierre de [math] R [/ math] con respecto a una (o varias) de estas propiedades se define como la relación más pequeña que ambos:
– contiene [math] R [/ math] como un subconjunto y
– tiene la propiedad deseada (o propiedades).
Entonces, para formar el cierre, agregue la menor cantidad de elementos posible que dará como resultado una relación con la propiedad deseada.
EJEMPLO. Suponga que [math] A = \ {1,2,3,4 \} [/ math] y [math] R = \ {(1,2), (1,3) \} [/ math].
Entonces, el cierre de [matemáticas] R [/ matemáticas] bajo reflexividad es
[matemáticas] \ {(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (3,3), (4,4) \} [/ matemáticas].
Hemos agregado los cuatro elementos necesarios para hacer que [math] R [/ math] reflexive.
El cierre bajo simetría es
[matemáticas] \ {(1,2), (2,1), (1,3), (3,1) \} [/ matemáticas].
El cierre bajo transitividad es solo
[matemáticas] \ {(1,2), (1,3) \} [/ matemáticas],
ya que [math] R [/ math] ya era reflexivo.
El cierre bajo simetría Y transitividad es
[matemáticas] \ {(1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (1,1), (2,2), (3,3), (2, 3), (3,2) \} [/ matemáticas].
Para obtener ambas propiedades, debe agregar muchos más elementos. En este caso, cerrar bajo simetría hace que necesite agregar más elementos para cerrar bajo transitividad.
