Dado un cono [math] K \ in \ mathbb {R} ^ n [/ math], es decir, si [math] k \ in K [/ math], entonces [math] \ lambda k \ in K, \ forall \ lambda> 0 [/ math], decimos [math] x \ succeq_K y [/ math] if [math] xy \ en K [/ math]. La forma general de optimización cónica se puede escribir como [math] \ min_x c ^ Tx [/ math] st [math] Fx + g \ succeq_K 0, Ax = b [/ math] donde [math] g [/ math] es en el rango de [matemáticas] F [/ matemáticas] y [matemáticas] K [/ matemáticas] en algún espacio.
Ahora definamos [math] K_i [/ math] como el cono de segundo orden, es decir, [math] K_i = \ {(y, t) \ in \ mathbb {R} ^ {k_t + 1} | || y || _2 \ leq t \} [/ math]. Entonces el problema SOCP se puede escribir como,
[matemáticas] \ min_x c ^ Tx [/ matemáticas]
[matemáticas] \ text {st} (A_ix + b_i, c_i ^ Tx + d_i) \ succeq_ {K_i} 0, i = 1,2,…, m, Fx = g [/ matemáticas]
Un problema general de SDP se puede escribir como,
[matemáticas] c ^ Tx [/ matemáticas] st [matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ mx_iF_i + G \ succeq 0, Ax = b [/ matemáticas], donde [matemáticas] F_i, G [/ matemáticas] son simétricas matrices y [math] X \ succeq 0 [/ math] significa que [math] X [/ math] es semidefinido positivo.
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Bueno, no sé si esto está en términos simples, pero la diferencia clave es que en SOCP estamos interesados en el cono de segundo orden mencionado, mientras que en SDP estamos interesados en que nuestras soluciones sean matrices definidas positivas simétricas específicamente. En segundo lugar, los problemas SOCP pueden escribirse como un problema SDP.
Ahora a su próxima pregunta, bien por la definición de optimización convexa si nuestro problema tiene una función objetivo convexa y si el conjunto factible también es un conjunto convexo, entonces el problema de optimización es un problema de optimización convexo. Esto es particularmente útil ya que podemos resolver el problema de manera eficiente. No estoy seguro acerca de los otros tipos de optimización para ser honesto. Cuando el problema no es convexo, la mayor parte de la optimización convexa con modificaciones todavía se puede usar, pero solo para calcular un punto estacionario del problema. En muchos casos, lo que hacen las personas es formular su problema de la forma que quieran y luego tratar de encontrar una buena relajación convexa para esa formulación y luego usar técnicas de optimización convexa. Si te refieres a la heurística de búsqueda como algoritmos genéticos por otros tipos de optimización, estas son completamente diferentes de las técnicas de optimización convexa, ya que son solo técnicas de búsqueda de ingeniería que no tienen mucha teoría y garantías.
Eche un vistazo a este documento para ver ejemplos en r http://www.econ.uiuc.edu/~roger/…
