La construcción de los polinomios de Hermite da un excelente ejemplo de una relación de recurrencia.
Una buena explicación de las diversas formas de generar y resolver este problema se encuentra en la Introducción a la mecánica cuántica de Griffiths, en el contexto del oscilador armónico cuántico. El libro ofrece un método algebraico y un método analítico de series de potencias para resolver el problema. Lo mejor que puede hacer es leer las partes relevantes del texto y luego resolver los problemas relevantes, por ejemplo, el problema 17 en el Capítulo 2 que utiliza una función generadora. [matemáticas] \ daga [/ matemáticas]
Otro buen ejemplo de una relación de recurrencia es el número de Fibonacci. Este artículo y la página de Wolfram ofrecen una amplia variedad de formas diferentes de generar la secuencia, incluida una función generadora y una relación de recurrencia de la matriz, que abarcan el espacio desde la simple adición hasta los polinomios. Por ejemplo, como se discutió en Love and Math: The Heart of Hidden Reality por Edward Frenkel, la secuencia se puede generar extrayendo el coeficiente de una determinada ecuación polinómica. Consulte el Capítulo 8, “Números mágicos”.
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Otros ejemplos fascinantes de las relaciones de recurrencia en física incluyen la construcción de la mariposa de Hofstadter, la función de onda de Laughlin y la jerarquía de estados de Hall cuánticos fraccionales. No entraré en detalles aquí.
Finalmente, un mapa logístico se puede calcular directamente, o tomando la proyección en la línea real por el conjunto de Mandelbrot. Pero, no sé de una función generadora para el conjunto de Mandelbrot. Esta es una buena pregunta.
La respuesta de Claire Walton a Fractals: ¿Cuál es la relación entre el conjunto de Mandelbrot y las aplicaciones del mapa logístico?
[matemáticas] \ daga [/ matemáticas] Podría agregar anecdóticamente que Sidney Coleman dijo una vez
“La carrera de un joven físico teórico consiste en tratar el oscilador armónico en niveles cada vez mayores de abstracción”.
Recientemente en una charla de física general, Andrew Strominger, quien aparece aquí
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como finalista del Premio de Física Fundamental, desafió esa noción de cambiar el foco hacia los agujeros negros como elemento fundamental de la física. No está claro si los estados cuánticos del agujero negro se pueden construir utilizando relaciones de recurrencia, que yo sepa, aunque las funciones hipergeométricas se usan con bastante frecuencia en los sistemas cuánticos de baja dimensión utilizados para analizar la gravedad cuántica y la conformación.
