¡Esto resulta ser una pregunta más difícil de lo que pensé!
Solía pensar que Cuadrar el círculo era la respuesta: los antiguos griegos se enfrentaron al desafío de construir un cuadrado con la misma área que un círculo dado usando solo una regla y una brújula idealizadas. Se esperaba que esto fuera posible, pero todas las posibles soluciones fallaron. Finalmente se demostró que era imposible solo en 1882.
Pero David Joyce me informa que
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Pappus clasificó las construcciones geométricas en tres grupos.
- aquellos que se pueden construir utilizando las herramientas euclidianas de regla y brújula
- aquellos que requirieron secciones cónicas, incluyendo doblar el cubo y ángulos de trisección
- aquellos que no podían hacerse de ninguna de esas dos maneras y necesitaban curvas más altas
Puso la cuadratura del círculo en la tercera categoría, pero no pudo probarlo.
Y Pappus murió en 350CE, ¡así que los griegos no han esperado que eso sea cierto por algún tiempo!
Mi mejor respuesta ahora es la prueba de que el postulado paralelo de Euclides es independiente de sus otros axiomas. Mientras Euclides vio la necesidad de este postulado, muchos matemáticos esperaban poder demostrarlo a partir de los otros axiomas. Muchos lo intentaron. Muchos fallaron. Finalmente, la prueba de que era independiente fue demostrada por ejemplos de geometría no euclidiana provista por Gauss, Bolyai y Lobachevsky a principios del siglo XIX.
Ni la Conjetura de Goldbach ni P = NP (o sus conversaciones) han sido probadas, así que supongo que hay alguna “posibilidad” de que puedan ir en cualquier dirección. Sin embargo, no está claro que esto se pueda medir de alguna manera útil.
