Como explicó Joachim Pense, el espacio de funciones [math] \ mathbb {R} ^ \ mathbb {R} [/ math] es tan ridículamente grande que ni siquiera puedes esperar describir todos sus elementos de una manera comprensible. Ni siquiera podemos representar todos los números reales de una manera comprensible, y mucho menos funciones.
Pero eso no es un gran problema. En realidad es muy común en matemáticas. En la teoría de la medida, por ejemplo, podemos demostrar que existen conjuntos reales no medibles, pero no podemos construirlos.
En cualquier caso, tenemos muchas herramientas para describir funciones. Pero son mucho más complicados de lo que propusiste. Aquí hay una lista no exhaustiva (supongo que no puede existir una lista exhaustiva)
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- Operadores numéricos básicos: suma +, multiplicación x, potencias ^
- Operadores numéricos más avanzados: factorial !, Euler phi [math] \ phi [/ math], módulo%, suelo y techo, función de partición, flechas Knuth, etc.
- Límites: [matemáticas] \ lim [/ matemáticas], por ejemplo, expansiones de Taylor (también lim sup, etc.)
- Integración definida, por ejemplo, transformada de Fourier de cualquier otra función.
- Integración indefinida, por ejemplo, función Gamma,
- Desglose en casos: [matemática] \ {[/ matemática], por ejemplo, funciones de indicador,
- Definición recursiva, por ejemplo, función de Ackermann
- Las ecuaciones diferenciales son a veces formas muy útiles de describir una función, especialmente si la ecuación no se ha “resuelto” (es decir, si la solución no se ha escrito en términos de lo anterior); todavía podemos calcular la función numéricamente y manipularla teóricamente, como cualquier otra función
- Descripciones más particulares:
- Manipulación de conjuntos: inf, sup, cardinalidad u otras propiedades de conjuntos asignados a números reales, por ejemplo, PrimeCountingFunction
- Manipulación de representaciones binarias, decimales u otras representaciones numéricas, por ejemplo, función de Cantor
- Manipulación de representaciones no numéricas como factores primos, por ejemplo, función radical
Apéndice:
El desglose de x ^ y en la descripción solo es válido si y es un número entero positivo, no para números reales generales, por lo que incluso el operador de potencia produce una respuesta negativa a la pregunta
Incluí solo +, x y ^, no -, / y sqrt, porque son lo mismo: ab no es más que a + (- 1) * b, y a / b es solo a * (b ^ -1)
Usted dice “funciones matemáticas” pero en realidad significa funciones que asignan números reales a números reales. En general, una función matemática puede asignar cualquier conjunto a cualquier otro conjunto, incluidos conjuntos de números complejos pero también otros conjuntos, otras funciones o estructuras algebraicas.
Algunas de las operaciones anteriores pueden describirse en términos de otras, por ejemplo, la manipulación de una representación numérica puede describirse usando límites y módulos, o los factoriales pueden describirse usando la definición recursiva o la función gamma
