¿Puede este bucle resolver la pregunta de suma infinita?

Para evaluar esta suma infinita, reescribe cada término de la siguiente manera:
[matemáticas] \ frac {3 \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 9} {6 \ cdot 8 \ cdot 10 \ cdot 12} = \ frac {3 \ cdot 4 \ cdot 5 \ cdot 6 \ cdot 7 \ cdot 8 \ cdot 9 \ cdot 10} {(4 \ cdot 6 \ cdot 8 \ cdot 10) (6 \ cdot 8 \ cdot 10 \ cdot 12)} [/ math]
[matemáticas] = \ frac {3 \ cdot 4 \ cdot 5 \ cdot 6 \ cdot 7 \ cdot 8 \ cdot 9 \ cdot 10} {(2 \ cdot 3 \ cdot 4 \ cdot 5) (3 \ cdot 4 \ cdot 5 \ cdot 6) 4 ^ 4} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {10!} {5! 6! 4 ^ 4} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {C_5} {4 ^ 4} [/ matemáticas],
donde [math] C_n [/ math] es el [math] n [/ math] th número catalán. Entonces la suma que estamos buscando es
[matemáticas] S = \ frac {C_2} {4 ^ 1} + \ frac {C_3} {4 ^ 2} + \ frac {C_4} {4 ^ 3} + \ frac {C_5} {4 ^ 4} + \ cdots [/ math].
La función generadora de los números catalanes es
[matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ \ infty C_ku ^ k = \ frac {1 – \ sqrt {1 – 4u}} {2u} [/ matemáticas].
Sustituyendo [math] u = \ tfrac14 [/ math] rendimientos
[matemáticas] C_0 + \ frac {C_1} {4} + \ frac {S} {4} = \ frac {1 – \ sqrt {1 – \ frac44}} {\ frac24} = 2 [/ matemáticas],
[matemáticas] S = 3 [/ matemáticas].

Ignorando el hecho de que su programa no es técnicamente equivalente ni siquiera a la suma infinita original, hay varias razones por las que un programa ingenuo de fuerza bruta sería un mal consejo. Digamos que, por el argumento de que reescribió su programa para que sea equivalente a la suma infinita, todavía habría varios problemas, que incluyen:

  • Las sumas infinitas, por definición, tienen un número infinito de términos, por lo que su ciclo tendría que ejecutar un número infinito de iteraciones, lo que, por supuesto, requeriría un tiempo de ejecución infinito.
  • Suponiendo que tuviera una cantidad de tiempo infinita, eventualmente los términos serían lo suficientemente pequeños como para ser más pequeños que la precisión de coma flotante de su máquina (suponiendo que los términos converjan a 0, de lo contrario la solución a la suma infinita tendrá que ser infinito) .
  • Teniendo en cuenta los dos puntos anteriores, una posible solución, si no requiere una solución exacta, sería terminar el ciclo cuando el término actual se vuelve más pequeño que algún umbral, por supuesto, incluso entonces es difícil saber qué tan buena es una aproximación tiene porque todavía tiene un número infinito de términos más pequeños para agregar. En otras palabras, todavía no sabes qué tan grande es tu error.

En última instancia, la forma más fácil de encontrar la solución a la suma infinita sería utilizar un enfoque más formal. Como esta es su tarea, no encontraré una solución para usted, sin embargo, el primer paso sería determinar si la suma incluso converge.
También tenga en cuenta que su serie se puede escribir de manera más compacta:
[mates]
\ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ prod_ {m = 0} ^ {n} {\ frac {3 + 2m} {6 + 2m}}
[/mates]

Tome 2 variables llamadas suma yw (w es la expresión para el enésimo término) .w se convierte en w * (2n + 3) / (2n + 6) para cada ciclo ahora suma se convierte en suma + w para cada ciclo.
Esta es la respuesta que se espera que escriba para un curso de programación de computadoras. No se espera encontrar una serie.

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