¿Para qué se utiliza una serie de Fourier?

La serie de Fourier es una forma de descomponer una función periódica en una suma de senos y cosenos (en realidad son exponenciales complejos, pero los senos y cosenos son un poco más intuitivos). El concepto subyacente es que cualquier función periódica debe estar compuesta de oscilaciones más básicas. Entonces, en términos simples, puede tomar algunas funciones periódicas inestables con las que puede ser difícil trabajar por sí solo, y luego dividirlas en solo un montón de senos y cosenos que son más fáciles de manejar.

Por ejemplo, veamos una onda cuadrada.

Puede ver desde la primera fila que una sola onda sinusoidal que oscila a la misma frecuencia que la onda cuadrada y tiene una magnitud ligeramente mayor no es realmente una gran aproximación de la onda cuadrada. No es plano y las transiciones no son tan agudas como una onda cuadrada. Entonces agregamos una segunda onda sinusoidal.

La segunda onda sinusoidal oscila 3 veces más rápido y tiene un tercio de la magnitud de la primera. La primera onda sinusoidal aún domina ya que tiene la mayor magnitud, pero debido a que la segunda oscila 3 veces más rápido, suaviza los picos de la primera y hace que la transición sea un poco más nítida (ya que cuando agrega dos ondas sinusoidales, sus magnitudes solo agregar en cada punto).

Luego agregamos una tercera onda sinusoidal que es 5 veces más rápida y una quinta parte más alta que la original. Lo mismo sucede, la primera ola aún domina, pero las otras dos trabajan juntas para suavizar los picos y agudizar las transiciones. Luego agregamos un cuarto y suaviza los picos aún más. Si agregamos un número infinito de ondas sinusoidales, eventualmente tendríamos una sola onda con partes superiores e inferiores perfectamente lisas y una transición instantánea hacia arriba, o una onda cuadrada perfecta (que nos dice que no existen ondas cuadradas perfectas en realidad, solo buenas aproximaciones, ya que en realidad no puedes agregar señales infinitas).

Lo mismo es cierto para algo así como una ola de dientes de sierra.

Las frecuencias y magnitudes son diferentes con una onda de diente de sierra, pero eso no debería ser una sorpresa ya que es una señal diferente. Pero si sumamos las ondas sinusoidales correctas, con las magnitudes y frecuencias correctas, podemos crear una forma de onda completamente nueva.

Esto es lo que hace la serie Fourier. Le indica qué combinación de ondas sinusoidales le dará su onda cuadrada, o su onda de diente de sierra, o cualquier otro tipo de función periódica que pueda estar observando. Esta es una gran parte del procesamiento de señales. Mirar las señales del dominio del tiempo en términos de sus componentes de frecuencia es inmensamente útil. En un caso simple, si alguien toca un acorde en una guitarra, puede mirar sus componentes de frecuencia para determinar de qué notas está hecho el acorde (en el caso de un acorde normal, convierte un ruido complejo en tres notas muy simples ) Se usa en transmisiones inalámbricas, compresión de imágenes, criptografía, incluso astronomía (aunque eso es más la Transformada de Fourier, que es un caso especial de la serie de Fourier, pero es el concepto de romper una señal en sus componentes de frecuencia lo que es importante).

Solo para dar otro buen ejemplo visual.

Aquí hay una señal similar a nuestra aproximación de onda cuadrada anterior. Parece complicado por sí solo, pero a medida que la imagen se muestra, en realidad es solo un montón de pecados básicos. Cuando pasa a mostrar S (f), cada línea indica cuánto impacto una sinusoide en la frecuencia correspondiente impacta la señal (no hay etiquetas, pero el eje inferior está aumentando la frecuencia y el eje vertical es la magnitud).

EDITAR:
Quiero decir gracias a Wikipedia por todas las imágenes
Serie de Fourier – Wikipedia

Y aquí hay un sitio web genial que te permite jugar agregando ondas sinusoidales para crear señales más complejas.

Visualización de la serie de Fourier con d3.js.

La Transformada de Fourier se utiliza para convertir una señal continua y periódica de “dominio de tiempo”, en la energía relativa e instantánea contenida en la señal, a través de todo el espectro de frecuencia y para * cada * momento en el tiempo. Esto es lo que llamamos la representación del “dominio de frecuencia” de esa señal con la que comenzamos. Estas dos formas de la señal son completamente equivalentes, solo expresadas de diferentes maneras. Entonces, ¿por qué nos molestamos con el dominio de la frecuencia? Porque al hacer todos los cálculos de procesamiento de señal en el dominio de la frecuencia, las matemáticas son generalmente mucho más simples, es decir, mucho menos trabajo y, por lo tanto, más rápidas de lograr. Si te hubieras quedado en el dominio del tiempo, estarías atrapado usando la convolución, lo cual es muy laborioso en comparación. Después de hacer los cálculos, lo transformaría nuevamente al dominio del tiempo para que pueda escuchar lo que haya hecho su procesamiento. Al usar números reales e imaginarios en los cálculos, también se puede calcular la señal de cambio de fase continua. Finalmente, la Transformada inversa de Fourier tomará una señal de dominio de frecuencia y la transformará nuevamente en una señal basada en el tiempo. Puede ir y venir sin degradar su señal. Un “FFT” es solo una forma inteligente de calcular la Transformada de Fourier mucho más rápido. El “IFFT” es la operación inversa.

Entonces, surge el problema de que las computadoras no pueden / no pueden grabar señales continuas (es decir, analógicas), sino que muestrean y graban (“digitalizan”) con un ADC, la magnitud de la señal a intervalos de tiempo regulares (la frecuencia de muestreo, fs ) Una vez que, como ingeniero, finalmente acepte y crea tanto el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon como el teorema de superposición, comprenderá que uno realmente puede * exactamente * recrear la señal continua original al “reproducir” las muestras grabadas al mismo frecuencia de muestreo a través de un DAC. El cálculo de una FFT de muestras discretas en lugar de una señal continua, se denomina DFT para la Transformada discreta de Fourier, y existe en lo que se denomina dominio Z, que ahora contiene “bins” de frecuencia discreta en lugar de un continuo. Cada contenedor contiene la energía relativa suministrada por el rango de sinusoides que representa el contenedor. DSP usa una gran cantidad de cálculo trigonométrico (pecados y cosenos). Por supuesto, el IDFT es solo el inverso de la operación DFT. La única advertencia que hay que recordar es que la frecuencia más alta que se puede codificar a una frecuencia de muestreo dada, es siempre exactamente la mitad de fs, también conocida como frecuencia de Nyquist. Entonces, por ejemplo, cuando se usan fs = 48k muestras / segundo, la frecuencia más alta que se puede capturar y grabar es a 24k muestras / segundo o 24kHz (ya por encima de la capacidad auditiva humana).

Ahora puede ver por qué usar velocidades de muestreo más altas, como 96k muestras / segundo, es solo un desperdicio innecesario de los recursos de su computadora, porque ahora tiene que mover el doble de datos, la mitad de los cuales son la información de alta frecuencia entre 24kHz y 48kHz, sonido que nadie podrá escuchar de todos modos.

por cierto, si cuadras las magnitudes de la señal del dominio de frecuencia (espectro de energía), entonces tendrás el espectro de potencia en su lugar.

Es un método matemático para convertir la representación en el dominio del tiempo de una señal en una representación en el dominio de la frecuencia de la señal. Cuando se trata con señales periódicas, esto puede facilitar el procesamiento de la señal. Por ejemplo, puede aplicar filtrado, desplazamiento, manipulación selectiva de diferentes componentes de frecuencia para los efectos deseados, etc. Todo lo que tiene que hacer es convertir a la transformada de Fourier, procesar la señal y volver al dominio del tiempo con una transformada de Fourier inversa, y listo. tener la señal procesada. Busque muchas preguntas respondidas sobre este tema en quora. Se ha dicho lo suficiente bajo varias preguntas.

La serie de Fourier se usa para aproximar cualquier función periódica como una suma de simples “funciones fundamentales seno y coseno (trigonométricas)”.
Cuando escribimos una función compleja como una suma de funciones muy simples que podemos comprender fácilmente, se vuelve fácil jugar con ellas y comprender la naturaleza de la función original.
Es similar a la serie de Taylor solo allí, nos aproximamos usando “funciones polinómicas y derivadas de la función original”.
Eche un vistazo a esta publicación de blog que explica la necesidad de la serie Fourier y lo que puede hacer con ella en términos de filtrado, por ejemplo.
http: //visionandbeyond.blogspot …

Pensemos en lo que es la serie de Fourier. Es esencialmente una señal periódica descompuesta en suma ponderada de armónicos de sinusoides. Esto significa que cualquier señal periódica se puede representar utilizando una sola función: la sinusoide. ¿Entonces que significa eso? Entiende el seno y prácticamente comprende cualquier señal periódica en el mundo.

¿Cómo se puede traducir esto a una aplicación? Digamos que tienes un circuito eléctrico. Le aplicas un voltaje periódico. Desea saber el voltaje de salida. Si hay condensadores e inductores, las ecuaciones del circuito se vuelven diferenciales e integrales. Ahora, imagine lo que sucederá si tiene alguna señal periódica compleja y está tratando de diferenciarla o integrarla. Básicamente tienes una pesadilla matemática en tus manos. Por otro lado, si representa esa señal periódica como una suma de sinusoides, su análisis del circuito es mucho más fácil. Esta es una de las razones principales por las que se eligió la sinusoide como señal representativa. Conserva su forma en varias operaciones complejas. Diferenciar o integrar una sinusoide también da como resultado una sinusoide. Hace que nuestros cálculos sean mucho más directos. Ahora, reemplace el circuito eléctrico con cualquier sistema o aplicación: distribución de calor, procesamiento de imágenes, etc. Verá que la serie de Fourier se puede aplicar en una gran cantidad de dominios. Por supuesto, todo esto lo hacen principalmente las computadoras hoy en día. Si tiene una señal aperiódica en lugar de la periódica, puede usar la transformada de Fourier, pero esa es otra discusión en sí misma.

Como servicio de consultoría, ofrezco análisis modal experimental. En el corazón de este trabajo se encuentra la Transformada rápida de Fourier (FFT) para convertir los datos del dominio de tiempo de entrada en el dominio de frecuencia para su procesamiento, visualización y manipulación.

tantos, cuentemos:

imagen digital almacenar y compartir

extracción de frecuencia

análisis de espectro

formación de haz

eliminación de desorden del eco de radar

procesamiento de audio

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Expresar cualquier señal periódica en términos de componentes sinusoidales infinitos y analizar mejor la señal en otro dominio en lugar del dominio original