No puedo encontrar el máximo / mínimo de este problema del multiplicador de Lagrange sin obtener un número complejo cerca del final. ¿Qué estoy haciendo mal?

Entonces el lagrangiano es [matemáticas] \ Lambda (x, y, \ lambda) = x ^ 2 + y ^ 2 – \ lambda (x ^ 4 + y ^ 4 – 1) [/ matemáticas].

Derivar da:

[matemáticas] \ frac {d \ Lambda} {dx} = 2x – 3 \ lambda x ^ 3 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {d \ Lambda} {dy} = 2y – 3 \ lambda y ^ 3 = 0 [/ matemáticas]

(Suponiendo [matemáticas] xy \ neq 0 [/ matemáticas])

[matemáticas] \ lambda = \ frac {2} {3x ^ 2} = \ frac {2} {3y ^ 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] y = \ pm x [/ matemáticas]

Ahora sustituye la última ecuación en la restricción y resuélvela. Esta parte se deja como ejercicio para el lector.

TAMBIÉN tenga en cuenta que esto no funciona cuando [math] xy = 0 [/ math], por lo que debe verificar estos casos usted mismo.

Mirando tu trabajo, has resuelto el problema correctamente. Es decir, ha encontrado un punto (x, y) donde f (x, y) se maximiza respetando la restricción, a saber, [matemáticas] x = y = (1/2) ^ {1/4} [/ matemáticas].

Su preocupación es que también encontró un par complejo de valores (x, y) que surgieron de algunas raíces cuadradas negativas. ¡Pero no tienes que preocuparte por eso! Esto sucede todo el tiempo al resolver problemas. Lo importante es recordar cuál es su objetivo: encontrar real (x, y) tal que f (x, y) se maximice. Si sus cálculos producen complejos (x, y) así como reales, puede ignorar los complejos porque son irrelevantes para su problema.

Como analogía, observe que (x, y) = (1,0) o (0,1) también resuelve la ecuación del multiplicador de Lagrange. Si tuviera mucho cuidado, conservaría estas soluciones, pero luego las descartaría porque minimizan f (x, y) en lugar de maximizarlas. De la misma manera, ignoras las soluciones complejas porque no son lo que estás buscando.