Esta es una buena pregunta. Por el principio tautológico de elección , supongo que te refieres
[matemáticas] (\ Pi x: A \ Sigma y: BR \, x \, y) \ to (\ Sigma f: A \ to B. \ Pi x: AR \, x \, (f \, x)) [/mates]
que dice si para cada [matemática] x: A [/ matemática] hay una [matemática] y: B [/ matemática] tal que cierta relación [matemática] R [/ matemática] tiene una función [matemática] f: A \ to B [/ math] que para cada elemento de A elige un elemento relacionado en B.
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Esto es demostrable en la teoría de tipos porque la codificación de la existencia como tipos Sigma nos permite extraer el testigo de las pruebas de existencia en la premisa y así definir la función de elección. Por lo tanto, ciertamente no corresponde al axioma de elección en la teoría de conjuntos o las versiones de la misma en las matemáticas clásicas en general, que se consideran como un principio adicional, de hecho, uno que destruye el carácter constructivo de una prueba.
El problema es que en lógica solo hablamos de proposiciones y todo lo que sabemos es si las proposiciones son válidas pero no tenemos acceso a la razón, la prueba como en la teoría de tipos. Por lo tanto, podemos decir que deberíamos llamar solo a aquellos tipos de proposiciones que no contienen información, es decir, que tienen como máximo un elemento (es decir, dos elementos son iguales).
En la teoría de tipos, introducimos una operación que asigna a cualquier tipo una proposición que dice que este tipo está habitado, esto a menudo se escribe [matemáticas] || A || [/ matemáticas] donde [matemáticas] A [/ matemáticas] es cualquier tipo . Usando esto podemos dar una mejor interpretación de [math] \ exist [/ math] es decir, como una proposición [math] \ exist x: AP \, x = || \ Sigma x: AP \, x || [/ math] . Aplicando esta traducción del axioma de elección anterior obtenemos
[matemáticas] (\ Pi x: A || \ Sigma y: BR \, x \, y ||) \ a || \ Sigma f: A \ a B. \ Pi x: AR \, x \, (f \, x) || [/ matemáticas]
Y esto no es demostrable en la teoría de tipos, y parece ser una mentira: dice que para cualquier A hay una B que está relacionada pero no te digo cuál, entonces puedes definir una función (no No te diré cuál) que elige los elementos. ¡No, no lo creo!
Y, de hecho, si asumimos esta versión del axioma de elección, podemos probar un tabú intuitivo: el medio excluido. Esto se debe a una famosa construcción de Diaconescu que se puede codificar en la teoría de tipos si tiene tipos de cocientes.
