Si a, b, c son números reales tales que 0 <a <1, 0 <b <1, 0 <c <1, a + b + c = 2, ¿cómo demuestra que [matemáticas] \ frac {a} {1 – a} \ frac {b} {1 – b} \ frac {c} {1 – c} \ geq 8 [/ math]?

Por simplicidad y un poco de juego seguro, intente poner:
[matemáticas] a = y + z [/ matemáticas]
[matemáticas] b = z + x [/ matemáticas]
[matemáticas] c = x + y [/ matemáticas]

Ahora [matemáticas] x + y + z = 1 [/ matemáticas] (Mira, por qué hice eso)
Asi que;
[matemáticas] x = 1-a [/ matemáticas]
[matemáticas] y = 1-b [/ matemáticas]
[matemática] z = 1-c [/ matemática]; también [matemática] 0 <a <1 [/ matemática], [matemática] 0 <b <1 [/ matemática], [matemática] 0 <c <1 [/ matemática]

[matemáticas] \ frac {a} {1-a} [/ matemáticas] * [matemáticas] \ frac {b} {1-b} [/ matemáticas] * [matemáticas] \ frac {c} {1-c} [ /mates]
= [matemáticas] \ frac {[(x + y) (z + x) (x + y)]} {xyz} [/ matemáticas] – (a)

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Usando la desigualdad de medios;
[matemáticas] \ frac {y + z} {2} [/ matemáticas]> = [matemáticas] \ sqrt {yz} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {z + x} {2} [/ matemáticas]> = [matemáticas] \ sqrt {zx} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {x + y} {2} [/ matemáticas]> = [matemáticas] \ sqrt {xy} [/ matemáticas]

Asi que,
[matemáticas] \ frac {[(x + y) (z + x) (x + y)]} {xyz} [/ matemáticas]> = 8 ;—( b)

Por lo tanto, hemos demostrado evidentemente a partir de ayb que:
[matemáticas] \ frac {a} {1-a} [/ matemáticas] * [matemáticas] \ frac {b} {1-b} [/ matemáticas] * [matemáticas] \ frac {c} {1-c} [ / matemáticas]> = 8