¿Cómo los logaritmos convierten la multiplicación en suma?

Sin símbolos y muy intuitivamente:

1. Los exponentes convierten la suma en multiplicación (con una base común). Expanden las cosas lo suficientemente rápido como para hacer esto exactamente bien.
2. Los logaritmos son funciones inversas de exponenciales. Entonces reducen las cosas a lo que eran antes. Esto significa llevar la multiplicación de vuelta a la suma.

Si comienza con dos números, digamos 3 y 7,

2 ^ (3 + 7) = 2 ^ 3 * 2 ^ 7. Entonces, la distancia aritmética se infló en un espacio proporcional.

Ahora Log base 2 necesitaría llevarlo de vuelta a la distancia aritmética.

Permítanme intentar responder esta pregunta usando cálculo diferencial.

Recuerde que un logaritmo [matemático] \ log x [/ matemático] es una función cuya derivada es [matemática] 1 / x [/ matemática] veces alguna constante [matemática] k [/ matemática]:

[matemáticas] \ frac {d} {dx} \ log x = \ frac {k} {x}, [/ matemáticas]

y tal que [math] \ log 1 = 0 [/ math].

Cualquier función que cumpla estas dos propiedades convertirá la multiplicación en suma. Queremos demostrar que, para cualquier [matemática] x [/ matemática] e [matemática] y [/ matemática] positiva,

[matemáticas] \ log (xy) = \ log x + \ log y. [/ matemáticas]

Deje que [math] y [/ math] sea fijo, y deje que [math] f (x) = \ log (xy) [/ math]. Diferenciar [matemáticas] f [/ matemáticas] con respecto a [matemáticas] x [/ matemáticas] usando la regla de la cadena:

[matemática] f ‘(x) = \ frac {d} {dx} \ log (xy) = \ frac {k} {xy} y = \ frac {k} {x}. [/ math]

Ahora diferencia [math] g (x) = \ log x + \ log y [/ math]. Como [math] \ log y [/ math] es constante,

[matemáticas] g ‘(x) = \ frac {k} {x} = f’ (x) [/ matemáticas] para todas [matemáticas] x [/ matemáticas].

Si dos funciones tienen la misma derivada, difieren en una constante. Por lo tanto, [matemáticas] g (x) = f (x) + C [/ matemáticas], es decir,

[math] \ log (xy) = \ log x + \ log y + C [/ math] para todos [math] x [/ math].

Ahora reemplace [math] y [/ math] por 1 y use el hecho de que [math] \ log 1 = 0 [/ math] para concluir

[matemática] \ log x = \ log x + C [/ matemática], y por lo tanto [matemática] C = 0 [/ matemática].

Por lo tanto, [math] \ log (xy) = \ log x + \ log y [/ math] para todos [math] x [/ math] y [math] y [/ math]. Y es por eso que los logaritmos convierten la multiplicación en suma.

La multiplicación a través de logaritmos es un ejemplo relativamente simple de un concepto muy poderoso en matemáticas: el uso de una transformación.

Supongamos que tiene un pastel de manzana y un pastel de nueces … y alguien le da otro pastel. ¿Cuántos pasteles tienes en total?

Resolver esto es tan fácil que es tentador olvidar el proceso de pensamiento de tres pasos:

1. Usamos el número “2” para representar los pasteles de manzana y nuez colectivamente … y el número “1” para denotar el pastel dado.
2. Agregamos 1 + 2 para obtener 3.
3. Luego traducimos la solución resultante “3” de nuevo a equivalentes físicos “circulares”.

Ese es el ejemplo más simple de una transformación de un problema: sumar cantidades físicas, en otro problema, sumar dos números. La multiplicación mediante logaritmos es solo una transformación más compleja: convertir un problema matemático en un problema matemático relacionado.

Supongamos que queremos multiplicar dos números, x e y. Una forma de resolver este problema es simplemente multiplicarlos. Para números pequeños, eso es fácil; para números más grandes, puede ser más difícil (al menos a mano). O podemos resolver este problema a través de una transformación de tres pasos que es similar en espíritu al caso anterior:

1. Calcule los equivalentes “transformados” de x e y como ln (x) e ln (y)
2. Realice la operación equivalente a la multiplicación, que está dada por ln (xy) = ln (x) + ln (y)
3. Transforme el producto equivalente ln (xy) nuevamente en la forma original, exponiendo ln (xy).

¿Por qué querríamos hacer eso? Bueno, podemos tener una manera fácil de calcular los registros naturales aproximadamente, y podemos estar contentos con una respuesta aproximada. Esta transformación sirve como base para la multiplicación de la “regla de cálculo” que utilicé en la escuela secundaria y la universidad. También es una transformación conveniente cuando se trabaja con productos de ciertas funciones.

Existen innumerables transformaciones de este tipo que utilizamos en todos los aspectos de las matemáticas, como las transformadas de Fourier en el análisis de forma de onda o las funciones generadoras de momento y las funciones características en probabilidad, por nombrar solo algunas.

Recordemos que cuando trabajamos con logaritmos, podemos recordarlo como el inverso del operador de exponenciación. Es decir, nuestra regla para los logaritmos es que si [math] a ^ b = x [/ math], entonces [math] log_ax = b [/ math]. Digamos que tenemos [math] x = log_ab [/ math] y [math] y = log_ac [/ math]. Entonces [matemáticas] a ^ x = b [/ matemáticas] y [matemáticas] a ^ y = c [/ matemáticas]. Si recordamos nuestras reglas para exponentes, [matemáticas] a ^ x * a ^ y = a ^ {x + y} [/ matemáticas]. Si tomamos el registro de ambos lados, obtenemos [math] log_a (a ^ x * a ^ y) = log_a (a ^ {x + y}) [/ math]. Ahora, usando nuestra regla de logaritmo de antes, la segunda parte de la ecuación se puede escribir como [matemáticas] x + y [/ matemáticas]. Pero si observa detenidamente y utiliza nuestra regla de logaritmo nuevamente, eso es lo mismo que [math] log_a (a ^ x) + log_a (a ^ y) [/ math]. Por lo tanto, si sustituimos nuevamente en términos de [matemática] b [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática], entonces [matemática] log_a (b * c) = log_a (b) + log_a (c) [/ matemática ]