Supongo que lo que consideras que programar es la clave para responder esta pregunta. Para cualquiera de las definiciones reales en las que alguien es productivo en la implementación eficiente de soluciones, diría que Álgebra II y logaritmos es lo mínimo. Esto le da al programador las habilidades para remodelar las operaciones en torno a una igualdad y pensar en arreglos alternativos. Los logaritmos son importantes solo para que el programador pueda comprender el nivel de esfuerzo para varios algoritmos.
Para que alguien sea productivo y tenga los fundamentos para hacer cualquier rango de programación, recomendaría algunos cálculos, ecuaciones diferenciales, matemáticas discretas y matrices. Los conceptos en esas clases son fundamentales para avanzar en los conceptos de programación. Las estadísticas (o procesos aleatorios más precisos) probablemente deberían estar aquí, pero el nivel donde eso se vuelve crítico es uno donde muchos programadores nunca llegan. Comprender la naturaleza estocástica del mundo en el que se ejecutará el código es lo suficientemente útil para la mayoría de las tareas de programación.
¿Se puede ser productivo con menos? Sí, comencé a programar con solo Álgebra en mi haber (tal vez era una tela de lomo hace mucho tiempo). Al mismo tiempo, puedo hacer una programación más avanzada ahora y mi código es más simple, más fácil de leer, más eficiente y robusto. No minimices tu educación matemática si quieres ser un programador.
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