¿Qué quiere decir uno con “Cada base es base 10”?

No es técnicamente cierto. Por supuesto, las variantes simples del sistema decimal común (y algunas más interesantes, como las bases balanceadas *) que posee esta propiedad. Los ejemplos incluyen binario, base 10; docena, base 10; y sexagesimal, base 01:00 (cada uno de “01” y “00” son dígitos individuales, con valores 1 y 0, respectivamente).

Sin embargo, para bases biyectivas, que no tienen esta propiedad. Los ejemplos comunes incluyen unario (marcas de conteo simples), base 1; y base veintiséis sin 0, base Z. Como lo implica el nombre del último ejemplo, estas bases no tienen dígito 0. Esto significa que cualquier número tiene exactamente 1 representación finita (a diferencia de nuestro sistema estándar, donde “1”, ” 01 “,” 1.0 “yc representan el mismo número), de ahí el nombre. Para dar el rango completo de expresión, estas bases tienen dígitos de valores [1..r], donde r es el valor de la base (en oposición a [0..r-1]). Entonces, el valor de la base es representable por un solo dígito: el dígito más alto.

Solo por algunos antecedentes sobre por qué llamé base veintiséis sin 0 “base Z”, abra una aplicación de hoja de cálculo popular. Notarás que las columnas están etiquetadas alfabéticamente: “A”, “B”, “C”, y c. Puede equiparar A con 1, B con 2 y c. Desplácese hacia los lados y llegará a una columna llamada “AA”, inmediatamente después de “Z” (26, decimal). AA = 1 * 26 + 1 = 27.

* Creo que hay un gran potencial en bases equilibradas como una mejor herramienta de pensamiento que la que tenemos actualmente. La mejor introducción que he leído es Reverse Numbers, del proyecto Shwa Script. Los dígitos novedosos hacen que algunas partes sean difíciles de leer, pero en su mayoría están escritas en una representación alternativa memorable.

PD: En contraste con las bases equilibradas, las bases biyectivas no son buenas para el cálculo general. ¡Cero es un buen número!

Si trabaja en la base siete, solo necesita usar los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6. El siguiente número después de 6, que es lo que normalmente representaríamos con 7, se denota con “10” en la base siete; así, en la base siete, la denotación de la base es “10”, así como en la base diez la denotación de la base es “10”.

Lo mismo es cierto, por supuesto, en cualquier base.

Esto no significa que “el número de dedos en dos manos humanas es la única base posible”; ciertamente puede denotar números en la base dos, siete, diez o dieciséis. Simplemente significa que si desea comunicar a alguien qué base está utilizando, es mejor que no se conforme con la denotación de la base en esa misma base , ya que siempre le diría “trabajamos en la base 10” .

Una explicación un poco más detallada en una forma más matemática:

[matemáticas] b [/ matemáticas] es la base [matemáticas] (b> 1) [/ matemáticas],
[math] d [/ math] es un dígito en un índice posicional dado,
[matemática] n [/ matemática] es el número de dígitos.

Cálculo general del valor de un número en el sistema de numeración posicional como en el artículo de Wikipedia de radix:

[matemáticas] d_1 b ^ {n-1} + d_2 b ^ {n-2} +… + d_n b ^ 0 [/ matemáticas]

Cualquier número [math] b [/ math] a la potencia de 0 es 1. Esto también explica por qué no es posible llegar a [math] b [/ math] en el dígito menos significativo, ya que el multiplicador base siempre es 1 independientemente de radix y el dígito está al máximo [math] b – 1 [/ math] ya que su índice está basado en cero.

Como queremos [math] b [/ math] como [math] b ^ 1 [/ math] en sí, [math] n [/ math] tiene que ser [math] 2 [/ math].

[matemáticas] d_1 b ^ {n-1} + d_n b ^ 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] d_1 b ^ 1 + d_2 b ^ 0 [/ matemáticas]

[math] b ^ 0 [/ math], siempre 1, solo se necesita para el relleno, por lo que se multiplica por 0.

[math] b ^ 1 [/ math], siempre [math] b [/ math], se necesita como tal, por lo que obtiene un multiplicador de 1.

[matemáticas] 1 \ veces b ^ 1 + 0 \ veces b ^ 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 \ veces b + 0 \ veces 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 + 0 [/ matemáticas]

Dado que la notación posicional implica la base del poder de los multiplicadores a través de su posición, pueden omitirse, lo que finalmente da:

10

Generalmente expresado como uno cero, y con la raíz de diez como diez.

Otra vez; Como el valor de la base en sí mismo no tiene influencia en ese resultado, dado que la notación solo escribe los multiplicadores como dígitos e implica la base de sus poderes a través de sus posiciones, esto significa que la base en su propio sistema siempre se escribe como 10 independientemente del base.

Porque, en cualquier número de base N:

• todos los dígitos están en el rango de 0 a N-1;
• cada dígito tiene N veces el valor del dígito a la derecha.

Si desea representar a N en la base N, no puede hacerlo en la columna de unidades, porque ese dígito solo puede subir a N-1. El siguiente dígito hacia arriba es la columna Ns, y 1 en esta columna tiene un valor absoluto de N. Por lo tanto, en la base N, escribiría N

10

sentido

1 × N + 0 × 1

Es solo una broma y no significa demasiado.

Cualquiera que sea el número que utilice como base, el número en sí se escribe como “10” en el sistema de números basado en él.

Entonces, la declaración solo dice “N siempre es ’10’ en el sistema de números de base N”.

No importa qué base se use, el número base siempre se escribe 10.

En binario 10 es dos. En decimal 10 es diez. En hexadecimal 10 es dieciseis. Y así.

Deje b ser el número base. Entonces b = 1 * b + 0 * 0 que se escribe 10

La afirmación de que “cada base es base 10” proviene de la noción equivocada de que uno debe tener runas separadas para cada lugar debajo de la base, y que la base es 1.0 (es decir, 1 lote de by 0 sobrantes).

Históricamente, se han utilizado bases alternas. He usado uno durante treinta años, donde 10 * 10 no es 100, sino algo diferente. De hecho, 10 * 12 es 100.

“Cada base es base diez” es INCORRECTO.
“Cada base es base 10” es VERDADERO.

Esto debería ser suficiente para explicar la declaración.

¿Qué es la base 13?