¿Cómo se puede encontrar el logaritmo de base 10 de un número de hasta 5 decimales con solo usar las cuatro operaciones básicas (+, -, *, /) con la ayuda de una calculadora?

Quan Nguyen tiene un buen pensamiento aquí, así que pongámoslo en práctica. En primer lugar, observamos que todos los logaritmos son múltiplos constantes entre sí, como se ve en la fórmula de cambio de base. Por lo tanto, [math] \ log (x) = \ frac {\ ln (x)} {\ ln (10)} \ aprox 0.434294 \ ln (x) [/ math]. Tenga en cuenta que doy 6 dígitos de precisión en la constante para garantizar que podamos usarlo y mantener 5 dígitos de precisión en nuestro cálculo.

¿Por qué convertir nuestro registro común a un registro natural? Debido a que el registro natural tiene una serie de Taylor muy fácil de recordar y calcular:

[matemáticas] \ ln {x} = – \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {(1-x) ^ n} {n} [/ matemáticas]

¿La única trampa? Solo funciona cuando x está entre 0 y 2.

Afortunadamente, podemos dividir nuestro argumento entre 10 hasta que caiga en este rango, teniendo en cuenta que cada división reduce el valor de su registro en 1, por lo que tendremos que recordar agregarlos al final:

[matemáticas] \ log (5252) = 4 + \ log (.5252) \ aprox 4 + 0.434294 \ ln (.5252) = 4-0.434294 \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {(. 5252-1 ) ^ n} {n} [/ matemáticas]

Genial, así que ahora he reemplazado el logaritmo con una suma infinita. ¡Eso debería ser fácil de calcular rápidamente!

Obviamente, tendremos que dejar de sumar en alguna parte, y podríamos detenernos cuando el próximo término de la serie comience con 6 ceros, pero luego tenemos que calcular cada término y acumular la suma resultante en la memoria usando M +. Definitivamente factible, por supuesto, pero podemos calcular fácilmente por adelantado cuántos términos necesitaremos si lo deseamos.

El error de una aproximación de Taylor siempre es igual al siguiente término no utilizado de la serie con la derivada evaluada en algún número (desconocido) entre el centro (1, en este caso) yx. Sin embargo, todos los términos en la serie para ln son estrictamente crecientes o simétricos en este intervalo, por lo que podemos elegir fácilmente los límites superiores del caso más desfavorable. En particular, cuando x está en nuestro rango requerido de 0 a 2, siempre podemos elegir 1 como la ubicación de nuestro límite superior y, por lo tanto, hacer que el error esté limitado por el próximo término. En otras palabras, solo necesitamos elegir n tal que [matemática] | \ frac {(1-x) ^ {n + 1}} {n + 1} | <.000005 [/ matemática].

DATO CURIOSO: Cuando [math] 0.1818 \ leq x \ leq 1.8181 [/ math] el límite de error anterior siempre se cumple para n = 41, y siempre podemos asegurar que x esté en este rango. Por supuesto, esto es extremadamente pesimista para cualquier x que no esté cerca del final del intervalo. Por ejemplo, con [matemáticas] x = .5252 [/ matemáticas], es suficiente con tomar [matemáticas] n = 12 [/ matemáticas]. Para números más cercanos a 1, es aún más pequeño.

Puedes probar la serie Taylor (serie Taylor). Creo que así es como implementan las funciones exp y ln en cualquier idioma. Puede cambiar la base del logaritmo usando una división por una constante.