¿Por qué la suma, pero no la resta, es asociativa?

Digamos que tienes

[matemáticas] 1 + 2 + 3 [/ matemáticas]

Puede volver a escribir esto como [matemáticas] 2 + (3 + 1) [/ matemáticas] o [matemáticas] 1 + (3 +2) [/ matemáticas] y así sucesivamente.

Esto se debe a que esencialmente está agregando [matemática] +1, + 2, \ text {y} + 3 [/ matemática]

Ahora, ¿qué tal [matemáticas] 1 – 2 – 3 [/ matemáticas]?

Bueno, ahora tienes un [matemático] +1, -2, \ text {y} -3 [/ matemático]

La resta ES asociativa si te das cuenta de que realmente solo estás sumando números negativos.

[matemáticas] 1 – 2 – 3 = -4 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 + ([- 2] + [- 3]) = 1 + ([-3] + [-2]) = (1 + [-3]) + [-2] = -4 [/ matemáticas ]

La razón [matemática] 1 – 2 – 3 \ neq 3 – 2 – 1 [/ matemática] es porque ahora tiene [matemática] 3 + [- 2] + [-1] [/ matemática] en lugar de [matemática] 1 + [-2] + [-3] [/ matemáticas]

La asociatividad depende primero de la estructura algebraica y de cómo se define la operación binaria en particular. (cf: quandles, movimientos reidemeister, enredos no asociativos, puntos flotantes …).
por ejemplo, esto es asociativo (técnicamente suma)
y esto no es (técnicamente multiplicación)

Por razones de argumento, supongamos que la resta es asociativa:
[matemáticas] 0 = 1 -1 = -1 + 1,
[/mates]
[matemáticas] 0 = 0 + 0 + 0 + 0…, (\ text {infinito términos})
[/mates]
[matemáticas] 0 = (1-1) + (1-1) + (1-1) +… ..
[/mates]
[matemáticas] = 1 + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + …….,
[/mates]
[matemáticas] = 1 + 0 + 0 +… ..
[/mates]
[matemáticas] = 1
[/mates]
¡La línea numérica se colapsa!
Por lo tanto, la resta no es asociativa.

Tiene que haber media docena de preguntas en los detalles, la mayoría de las cuales probablemente deberían separarse.

Dado un conjunto S, si hago una operación binaria aleatoria

[matemáticas] \ cdot: S \ veces S \ a S [/ matemáticas],

La posibilidad de que sea asociativa es casi nula. Por ejemplo, en un conjunto de orden 9, recientemente se ha demostrado que hay

38,447,365,355,811,944,462

operaciones binarias asociativas [1], de un total de

[matemáticas] 9 ^ {9 ^ 2} = [/ matemáticas] 196,627,050,475,552,913,618,075,908,526,912,116,283,103,450,944,214,766,927,315,415,537,966,391,196,809

operaciones binarias en el conjunto. Y si tiene más de 9 elementos, las cosas son (por supuesto) aún peores. La probabilidad de llegar a una operación asociativa al completar una tabla de multiplicación de 9 elementos al azar sería algo así como 1 en [matemáticas] 10 ^ {58} [/ matemáticas]. Si hubiera estado haciendo esto cada nanosegundo desde el nacimiento del universo, es probable que nunca haya encontrado una operación asociativa.

Por lo tanto, una operación binaria que no sea asociativa no es sorprendente. Las operaciones solo pueden ser asociativas si son asociativas por una razón especial. Esa suma es asociativa es fácil de ver a partir de lo que significa la suma: si tomas un conjunto de cosas, y un conjunto de otras cosas, y un conjunto de otras cosas, y las combinas, terminarás con un conjunto de cosas a + b + c . No importa en qué orden los combine.

En el caso de la resta, este tipo de condición obviamente no se cumple.

Intentar demostrar que una operación es asociativa no es sencillo en general, ya que probablemente ya debería haber concluido del hecho de que nosotros (es decir, la humanidad) solo hemos descubierto este año exactamente cuántas operaciones asociativas hay en un conjunto con nueve elementos . Si se sabe que la operación tiene algunas propiedades, es posible que pueda derivar asociatividad de ellas, pero si no, entonces hay poco que puede hacer.

[1] Distler y Kelsey, Los semigrupos de orden 9 y sus grupos de automorfismo (preimpresión), 2013.

Desde un punto de vista algebraico, la resta es sumar el inverso (debajo de la suma) de un número.

Eso significa que a – b es realmente solo un + (-b).

Ahora, si observa (a – b) – c, tiene un + (-b) + (-c) y cuando escribe a – (b – c) obtiene un + – (b + (-c)) Dada la definición de inversa de la composición de dos elementos de grupo – (a + b) = (-b) + (-a), obtienes a + (- (- c)) + (-b), que es a + c – b, y ahora está claro por qué la sustracción (agregar el inverso de un elemento) no es asociativa (para ningún grupo).

Descargo de responsabilidad: comencé a tomar mi primera clase de álgebra hace un mes.

Lamentablemente, la suma no siempre es asociativa

Tales como sumas infinitas no son generalmente asociativas

asociativa es la propiedad que surge en alguna condición. Algunos operadores pueden ser asociativos en más condiciones que otros. La multiplicación tiene más condiciones para ser asociativa que la resta, pero aún menos que la suma. En octonion, por ejemplo, la multiplicación no es asociativa