La suma de cuadrados de [matemática] 1 [/ matemática] a [matemática] n [/ matemática] es [matemática] n (n + 1) (2n + 1) / 6 [/ matemática], entonces la suma de cuadrados de 1 a [matemática] p-1 [/ matemática] es [matemática] (p-1) (p) (2p-1) / 6 [/ matemática]. Entonces todo lo que tenemos que mostrar es que [math] (p-1) (2p-1) [/ math] siempre es divisible por 6, por lo que nos queda un múltiplo de [math] p [/ math].
Obviamente, esto no es cierto para [matemáticas] p = 2 [/ matemáticas] o [matemáticas] p = 3 [/ matemáticas]. Todos los números primos más grandes tienen la forma [matemática] 6k + 1 [/ matemática] o [matemática] 6k + 5 [/ matemática].
En el primer caso, [matemática] (6k + 1-1) (2 (6k + 1) -1) = (6k) (12k + 1) [/ matemática] que es trivialmente divisible por 6, y en el segundo caso [matemáticas] (6k + 5-1) (2 (6k + 5) -1) = (6k + 4) (12k-9) \ equiv 4 \ cdot -3 \ equiv 0 \ pmod {6} [/ matemáticas] .
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(No veo ninguna forma inmediata de pasar de sumar los cuadrados a sumar los símbolos de Legendre, como sugiere, ya que todos los elementos de la suma son, por definición, residuos cuadráticos. Existe un teorema sobre la suma de los símbolos de Legendre en un progresión lineal que suma a cero, pero eso es realmente cero, no solo un múltiplo de p.)
