Nota [math] \ sqrt {b ^ 2 + c} [/ math] y [math] \ sqrt {d ^ 2 + e} [/ math] ambos son enteros. Ajusta ambos lados y convéncete.
Para dos números primos [matemática] p_1 [/ matemática] y [matemática] p_2 [/ matemática] tenemos [matemática] p_1 ^ 2 + p_2 = k ^ 2 [/ matemática].
[matemáticas] p_2 = (k-p_1) (k + p_1) [/ matemáticas]. Como [math] p_2 [/ math] es primo, [math] k-p_1 = 1 [/ math] y [math] k + p_1 = p_2 [/ math].
[matemática] p_2 = 2p_1 + 1 [/ matemática] y [matemática] k = p_1 + 1 [/ matemática].
Por lo tanto, tenemos [matemática] a + b = d [/ matemática] y [matemática] c = 2b + 1 [/ matemática] y [matemática] e = 2d + 1 [/ matemática].
Pero sabemos que para que [math] d [/ math] sea primo, [math] a [/ math] o [math] b [/ math] tiene que ser 2.
De lo contrario, [math] d [/ math] tendrá incluso una paridad mayor que 2.
Caso 1: [matemáticas] b = 2 [/ matemáticas]
[matemática] c = 3 [/ matemática], [matemática] d = a + 2 [/ matemática] y [matemática] e = 2a + 5 [/ matemática].
Seleccione un tal que [math] d [/ math] y [math] e [/ math] sean primos.
Para [matemáticas] a = 3 [/ matemáticas], tenemos [matemáticas] (3,2,3,5,11) [/ matemáticas].
Esta es la única solución.
Digamos [math] a = 3l + 1 [/ math]. Entonces [matemática] d = 3 (l + 1) [/ matemática] no es primo.
De nuevo si, [matemáticas] a = 3l + 2 [/ matemáticas]. Entonces [matemáticas] e = 3 (2l + 3) [/ matemáticas], no es primo.
Caso 2: [matemáticas] a = 2 [/ matemáticas]
[matemática] c = 2b + 1 [/ matemática], [matemática] d = b + 2 [/ matemática] y [matemática] e = 2b + 5 [/ matemática].
Seleccione [matemática] b [/ matemática] de modo que [matemática] c [/ matemática], [matemática] d [/ matemática] y [matemática] e [/ matemática] todos sean números primos.
Para [matemáticas] b = 3 [/ matemáticas], tenemos [matemáticas] (2,3,7,5,11) [/ matemáticas].
Claramente, esta es la única solución del argumento anterior.
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