Si [math] \ mathbf F [/ math] no es un campo vectorial conservador, ¿eso significa que no hay una función [math] f [/ math] tal que [math] \ nabla f = \ mathbf F [/ math] ?

De acuerdo, todas las respuestas son perfectas, la teoría no nos confunde, pero me limitaré a una rama de las matemáticas llamada Lógica. Sean A y B dos afirmaciones.

El tercer enunciado “A implica B” o A => B, significa que SI A se vuelve verdadero, ENTONCES B es verdadero.

Esta tercera declaración es equivalente a una cuarta declaración que va

SI B NO ES VERDADERO ENTONCES A tampoco lo es.

Pero una quinta declaración dice así no A => no B

este quinto no es una consecuencia del tercero. 5 y 3 son dos declaraciones de independencia.

Eres chino implica que eres una persona (nuestro tercero)

No eres chino implica que no eres una persona (nuestro quinto) esto no es cierto solo porque nuestro tercero es cierto.

Entonces, la declaración A = F es un campo vectorial conservador

declaración B = existe una función escalar f tal que F = grad (f)

tercera declaración A => B

cuarto equivalente no B => no A

Entonces, la respuesta a su pregunta es NO, independientemente del hecho de que la afirmación sea siempre cierta.

¿Qué?

Sí, el quinto aquí no se deriva de las declaraciones 1 a 4, por lo que no es cierto

Pero el significado de nuestro quinto es cierto porque, fuera del problema, la afirmación correcta es

no esto A => B

pero esto A <=> B

este último hace realidad este sexto B => A y luego esto implica el séptimo

Séptimo no A => no B, que ahora es cierto.

Un campo continuo [matemático] F: \ Omega \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n} [/ matemático] se dice conservador si por cada par de curvas [matemática] \ gamma_ {0}, \ gamma_ {1} \ in C ^ {1} ([a, b]; \ Omega) [/ math] tal que [math] \ gamma_ {0} (a) = \ gamma_ {1} (a) [/ math] y [math] \ gamma_ {0} (b) = \ gamma_ {1} (b) [/ math] verifican:

[matemáticas] \ int _ {\ gamma_ {0}} F \ bullet dl = \ int _ {\ gamma_ {1}} F \ bullet dl [/ math]

Bajo la condición de que [math] \ Omega [/ math] esté conectado, F es un campo conservador equivalente a F derivado de un potencial (es decir, [math] \ existe f \ en C ^ {1} (\ Omega; \ mathbb {R}): F = \ bigtriangledown f [/ math]

En conclusión, si considera que F es un campo continuo en un conjunto de conexiones, entonces si no es conservador, no existe tal función.

La respuesta simple es: depende de dónde elija mirar [math] \ vec F [/ math].

Por ejemplo: [math] \ vec F = \ nabla \ left (\ arctan \ left (\ cfrac {y} {x} \ right) \ right) [/ math] no es conservador en regiones cerradas que incluyen el origen.

Un poco más: cualquier campo vectorial no conservador puede describirse como la suma de un campo de gradiente conservador y un múltiplo de [matemáticas] \ cfrac {(-y, x)} {(x ^ 2 + y ^ 2)} [ / math], que es el gradiente de [math] \ arctan \ left (\ cfrac {y} {x} \ right) [/ math].

Cf: una pregunta sobre campos vectoriales no conservadores