¡Buena pregunta! Pero no está muy bien definido. Formúlelo mejor para que nos resulte más fácil llegar a una conclusión sólida a este respecto.
¿Qué es este proceso de replicación?
Digamos que esta máquina [matemática] M [/ matemática] de la que hablas, sea lo que sea, toma un estado físico arbitrario desconocido [matemática] A [/ matemática] y hace una réplica exacta de la misma sobre otro estado, digamos [matemática] B [/ math], sin alterar el estado original [math] A [/ math] de ninguna manera. Entonces, [matemática] M [(A) (B)] \ rightarrow (A) (A) [/ math].
¿Es posible tener una máquina así? ¿Cuáles son las limitaciones?
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- Si desea una réplica “exacta”, es imposible tener una máquina [matemática] M [/ matemática] para hacer este tipo de replicación. Se podría demostrar que esto está prohibido por las leyes de la mecánica cuántica. Una prueba indicativa se da a continuación.
- Sin embargo, impusimos condiciones bastante fuertes ( subrayadas ) al definir lo que queremos decir con replicación, en este sentido. Entonces, si aflojamos algunos de estos requisitos, podríamos lograr, hasta cierto punto, la replicación deseada. No es exacto, pero imperfecto.
- Por ejemplo, [math] M [/ math] podría “exactamente” replicar un estado de rotación Y un estado de rotación, pero cuando se trata de replicar un estado “arbitrario” que sería una combinación lineal de estos dos, sería No lo hagas.
Prueba: [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] pertenece al mismo espacio de estado y son independientes, suponiendo que no se enreden. [matemáticas] (A) (B) [/ matemáticas] es un producto tensorial. [math] M [/ math] es un operador que actúa en este espacio de estado y tiene que ser unitario para que la replicación sea un proceso físico. Básicamente es un operador de evolución temporal y depende de un hamiltoniano.
Requisito unitario: el producto interno en el espacio de estado debe permanecer preservado, incluso después de la acción de un operador unitario. Por lo tanto,
[matemáticas] (B) ^ T (A ‘) ^ T (A) (B) [/ matemáticas] = [matemáticas] (B) ^ T (A’) ^ TU ^ TU (A) (B) [/ matemáticas ] = [matemáticas] (A ‘) ^ T (A’) ^ T (A) (A) [/ matemáticas].
Además, suponiendo que los estados estén normalizados:
[matemáticas] (A ‘) ^ T (A) [/ matemáticas] = [matemáticas] [(A’) ^ T (A)] ^ 2 [/ matemáticas].
Por lo tanto, esta condición impuesta a la naturaleza unitaria de [matemáticas] M [/ matemáticas], no es general y solo es cierta cuando [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] A ‘[/ matemáticas] son idénticas (que es un caso trivial) O ortogonal (como el ejemplo de rotación ascendente y descendente que di anteriormente, que es un conjunto de estados ortogonales en una base elegida específicamente).
Por lo tanto, [math] M [/ math] no puede replicar estados generales. Es como tener una máquina que reproduzca exactamente los papeles con regla vertical y horizontal, pero que arroje basura si intenta replicar un papel con regla oblicua.
Editar:
Para ilustrar la última línea (o, por ejemplo, el caso de la mitad de giro): digamos que [math] M [/ math] podría replicar [math] A [/ math] y [math] A ‘[/ math] exactamente. Entonces, [matemáticas] M (A) (B) [/ matemáticas] = [matemáticas] (A) (A) [/ matemáticas] y [matemáticas] M (A ‘) (B) [/ matemáticas] = [matemáticas] (A ‘) (A’) [/ matemáticas].
Ahora, consideramos un estado general, [matemática] C [/ matemática] = [matemática] xA + yA ‘[/ matemática], donde [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] son escalares complejos .
La forma en que [math] M [/ math] debería funcionar:
[matemáticas] M (C) (B) [/ matemáticas] = [matemáticas] (C) (C) [/ matemáticas]
LHS: [matemáticas] M (C) (B) [/ matemáticas] = [matemáticas] M (xA + yA ‘) (B) [/ matemáticas]
= [matemáticas] xM (A) (B) + yM (A ‘) (B) [/ matemáticas]
= [matemáticas] x (A) (A) + y (A ‘) (A’) [/ matemáticas].
RHS: [matemáticas] (C) (C) [/ matemáticas] = [matemáticas] (xA + yA ‘) (xA + yA’) [/ matemáticas]
= [matemáticas] x ^ 2 (A) (A) + xy [(A) (A ‘) + (A’) (A)] + y ^ 2 (A ‘) (A’) [/ matemáticas].
Por lo tanto, vemos cómo falla.
Las máquinas autorreplicantes proporcionan un tratamiento extenso de los problemas y conceptos para la autorreplicación. 