Depende: ¿qué escala de tiempo y qué nivel de precisión requiere?
Como señala Joshua Engel, en su mayor parte, los movimientos de los cuerpos más masivos en períodos relativamente cortos se pueden aproximar por el movimiento kepleriano. Durante períodos de tiempo un poco más largos, debe incluir las perturbaciones de los otros cuerpos (de hecho, fue a través de tal análisis de la evolución del tiempo de los elementos orbitales de Urano que Neptuno se predijo y finalmente se descubrió), aunque sigue siendo esencialmente una modificación Problema de 2 cuerpos.
Se pueden utilizar simulaciones de muchos cuerpos para aproximar numéricamente estos sistemas con mayor precisión, y la estructura jerárquica del sistema solar es agradable porque algunas optimizaciones son posibles debido a esto (Jack Wisdom trabajó un poco en esto). Para integraciones a corto plazo muy precisas y rápidas, el sistema completo (o mayormente completo) puede integrarse con métodos numéricos estándar, como los métodos Runge-Kutta de alto orden, mientras que la formulación clásica (es decir, no relativista) tiene un aspecto geométrico (en este caso estructura simpléctica) que debe ser respetada por el esquema numérico para la precisión cualitativa a largo plazo, a pesar de que su desempeño de error “local” es típicamente peor por paso de tiempo o para una medida de eficiencia dada que los métodos estándar.
En este sentido, Jacques Laskar ha realizado un trabajo increíble a lo largo de los años, estudiando la estabilidad del sistema solar hasta decenas (si no cientos) de millones de años, incluidos (hasta donde yo sé) detalles como la presión de la radiación solar, la pérdida de masa solar, cuerpos más conocidos, relatividad y algunas técnicas de promedio muy sofisticadas para describir la influencia de los planetas internos en los planetas externos, dado que durante escalas de tiempo realmente largas no podemos resolver las órbitas de la primera sensatamente por paso de tiempo.
El resultado neto, lo último que escuché, fue que podemos estar razonablemente seguros de las posiciones de las cosas hasta 60-65 mega años pasados o futuros, pero más allá de esa predicción simplemente no es bueno debido al caos. También existe la posibilidad, aunque pequeña, de que las perturbaciones puedan aumentar la excentricidad de Mercurio de modo que tenga un encuentro cercano con Venus, y luego cualquiera de ellos pueda tener un encuentro con la Tierra, matándonos a todos (si no es por colisión directa arrojando la Tierra) orbita). Estas predicciones se realizaron haciendo conjuntos de simulaciones (tanto hacia adelante como hacia atrás) con pequeñas variaciones dentro de los parámetros de error de las mediciones actuales. No te preocupes sea feliz.
Si está interesado en más del trabajo de Laskar, tiene una lista de citas disponible aquí (publicaciones de Laskar) con enlaces a preimpresiones y versiones arXiv donde los documentos finales publicados no son de libre acceso. De hecho, un ejemplo de una respuesta directa a su pregunta se puede encontrar en este preprint: Nuevas familias de métodos de división simplécticos para la integración numérica en astronomía dinámica)
La esencia de este artículo parece ser que, con un análisis cuidadoso, un método de integración de una representación clásica del sistema solar puede construirse en un orden superior de una manera que respete una cierta estructura geométrica (simpléctica) subyacente. Respetar esta estructura le brinda ciertas cosas de forma gratuita, aunque no sin una pequeña compensación. En particular, todas las primeras integrales (que son constantes de movimiento) se conservan hasta la precisión de la máquina, aunque la energía no lo es (con la integración simpléctica, se espera que la energía oscile durante mucho tiempo dentro de unos límites razonables, si se elige el paso de tiempo sensatamente. Esto es una compensación: puede tener la conservación de energía incorporada en su esquema, o puede tener simplicidad, pero no puede tener ambos). Una gran ventaja de este esquema es que si integra un sistema caótico que comienza en una región de movimiento no caótico, está casi garantizado que nunca cruzará ningún límite en el caos; Del mismo modo, si comienzas en un régimen caótico, nunca esperarás cruzar a un régimen no caótico o una región caótica diferente. Por lo tanto, incluso si su error local es (relativamente) alto (aunque el objetivo de este documento es que los métodos de alto orden que están construyendo son intrínsecamente más precisos, aunque posiblemente costosos en comparación con un método no simpléctico del mismo orden) su largo plazo la integración seguirá siendo cualitativamente correcta, lo que en realidad es muy, muy importante.
