Un bosquejo informal de una prueba es el siguiente.
Una curva de Bezier es una curva paramétrica C (t) = (x (t), y (t)) donde x e y son polinomios con valor real de algún grado d. Los polinomios xey se representan cada uno como combinaciones lineales de polinomios de Bernstein de grado d, que forman una base para el espacio lineal de todos los polinomios de grado d.
Ahora, una curva spline es una curva paramétrica cuyos componentes xey son polinomios por partes de grado d. En general, hay n piezas, donde n> 1, pero también podemos tener el caso donde n = 1. En ese caso especial, tenemos una curva de Bezier; Los componentes X e Y de la curva spline son solo polinomios, que se pueden representar como combinaciones lineales de polinomios de Bernstein.
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Además, se puede probar, utilizando la definición de funciones B-spline (base) de grado d, que si deja que la secuencia de nudos subyacente sea 0, … 0, 1 … 1, donde los nudos 0 y 1 tienen multiplicidad d + 1, entonces las funciones básicas de B-spline son exactamente los polinomios de Bernstein.
Una nota sobre la terminología: con frecuencia las curvas spline se denominan curvas B-spline, como se hace en la redacción de esta pregunta. Pero en mi respuesta, reservo el término B-spline para una función base, y una curva de spline es entonces una combinación lineal de B-splines.
