Jens es la respuesta directa teórica y técnica. En teoría, el universo matemático podría ser más grande debido a teorías no constructivas como él señala (si eso es solo en la imaginación de los matemáticos es una pregunta abierta, por ejemplo, si considera que los números reales de precisión infinita son ‘existentes’).
Sin embargo, creo que por cada estructura matemática computable enumerable finita hay un número infinito de programas / algoritmos que la computan, por lo que si restringe su universo a las matemáticas computables, el universo computacional sería más grande a menos que contraiga todos los programas / algoritmos usando una definición de isomorfismo basada en la función que calculan (generalmente el caso en la teoría de la recursión, ¡pero no así en la práctica real de la ingeniería de software!).
Entonces, lo que diría es que, en teoría, el universo matemático completo es más grande (incontable) pero, en la práctica, el universo computacional (sin la noción de, por ejemplo, programas libres de prefijos para descartar programas ‘equivalentes’) es más grande que el conjunto de matemática computable (numerable). Sin embargo, si introduce una noción de programa ‘válido’ y hace colapsar los programas en funciones computables, entonces vuelve a la situación de creer en un universo matemático no computable (y por lo tanto más grande) (donde es apropiado el uso del método de diagonalización de Cantor para demostrar la indecidibilidad del problema de detención, como una prueba no constructiva).
- ¿Por qué la teoría de la medida es más común en economía que en informática?
- ¿Por qué las computadoras no pueden programarse por sí mismas?
- ¿Cómo puede una máquina lógica como una computadora generar un número aleatorio?
- ¿Por qué todos los ceros (0000 0000) en el campo de exponente representan el exponente -126 y no -127 en coma flotante IEEE de precisión simple?
- ¿Por qué la gente encuentra divertida la programación / codificación, pero no las matemáticas?
Entonces, en el mundo real estamos rodeados de implementaciones reales (físicas) de cosas que podrían verse o identificarse con funciones matemáticas. Ahora, si le pide a un programador que implemente una función matemática como, por ejemplo, calcular los ingresos de una empresa o un software para ayudar a los clientes a encontrar algo en un catálogo, puede ver cuántos programas podrían calcular de la misma manera de diferentes maneras. haciendo así que el universo computacional sea un espacio de facto más grande en la práctica, y especialmente si crees que el mundo es computable y, por lo tanto, la suposición de que las matemáticas no son tan descabelladas para propósitos más prácticos, como puede decir un constructivista.
