Sin duda, no estoy totalmente de acuerdo con su premisa: que QM se distingue en el plan de estudios de física por ser “difícil”. Es difícil para un laico entender porque carece de experiencia directa con el universo a escalas atómicas. Pero para una especialización en física o ingeniería, QM puede ser tan difícil o tan fácil como cualquier otra clase.
Pero, QM tiene un cierto lugar histórico especial en la ciencia, debido a la gran agitación que produjo, ideológicamente hablando. A mediados de 1800, la gente pensaba que el universo consistía en pequeños engranajes metafóricos que se combinaban de cierta manera y daban lugar a la realidad que entendemos. Era una suposición razonable que, una vez que uno entendía los engranajes y cómo encajaban, podía (en principio) calcular lo que quisiera sobre el universo. A principios de 1900, esa noción había sido abandonada.
Históricamente, la lógica matemática podría ocupar un lugar similar en las matemáticas. Alrededor de mediados o finales de 1800, la sensibilidad predominante en matemáticas era más o menos así en física: que la “verdad” estaba ahí afuera, los pequeños engranajes metafóricos se mezclaban, y todo lo que un matemático tenía que hacer era pensar lo suficiente como para descubrir ellos.
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Un matemático influyente llamado Hilbert recopiló una lista de diez problemas no resueltos y, en un famoso discurso en 1900, entregó esa lista al mundo matemático. (Poco después, la lista se amplió a 23 problemas). Tres de los diez problemas originales terminaron teniendo soluciones (o quizás más exactamente, áreas grises) que Hilbert ni siquiera habría contemplado. Esos problemas fueron:
- Resolver la hipótesis del continuo (primer problema)
- Probar que los axiomas de la aritmética son consistentes (segundo problema)
- Encuentre un algoritmo que decida si una ecuación se puede resolver en enteros (décimo problema).
Tomando cada uno a su vez:
No necesita conocer los detalles sobre la hipótesis del continuo. Muy brevemente, era conocido en la época de Hilbert que los conjuntos infinitos vienen en diferentes tamaños. La hipótesis del continuo (“CH”) trata de si hay un conjunto infinito que tiene un tamaño entre dos conjuntos infinitos particulares cuyos tamaños se sabe que son diferentes.
Se ha demostrado que el problema es “irresoluble”, al menos en algún sentido que probablemente habría satisfecho a Hilbert. En particular, los axiomas comunes de la teoría de conjuntos son consistentes si CH es verdadero. ¡Pero los axiomas de la teoría de conjuntos también son consistentes si CH es falso! Por lo tanto, CH es lo que hoy se describe como independiente de los axiomas habituales de la teoría de conjuntos. Simplemente puede suponer que es cierto o asumir que no es cierto, y cada universo matemático resultante no es mejor que el otro. Hilbert no se habría sentido cómodo con un escenario como ese, y supongo que tiene ecos de rareza cuántica.
Sobre el tema del segundo problema, Goedel demostró (¡en la vida de Hilbert!) Algunos resultados muy inesperados sobre la consistencia de los sistemas axiomáticos. Primero, demostró que un sistema no puede probar su propia consistencia (a menos que sea inconsistente). Esto ya fue un shock para las sensibilidades matemáticas predominantes. Además, Goedel demostró que cualquier sistema axiomático “adecuadamente expresivo” necesariamente contenía declaraciones verdaderas que no podían demostrarse. (“Adecuadamente expresivo” significa que puedes construir los números enteros en el sistema axiomático). Esto fue un shock absoluto: una afirmación demostrable que no era comprobable y que también era cierto seguramente hizo explotar las cabezas. Quizás, de la misma manera que algunas características de QM.
El décimo problema no es tan dramático, pero hace eco del tema: a estas alturas, probablemente puedas adivinar que se demostró que tal algoritmo no podría existir. Los pequeños engranajes metafóricos que los matemáticos del siglo XIX asumieron que estaban allí simplemente no estaban.
Y, por supuesto, todos estos resultados se debieron en gran parte a los avances en un campo llamado lógica matemática. Pero a diferencia de QM, la lógica matemática no llegó a ocupar el centro del escenario. Los resultados que describí anteriormente fueron definitivamente trastornos ideológicos , pero no fueron necesariamente prácticos. No en la medida en que lo fue QM.
Por ejemplo, ahora si eres un estudiante de matemáticas y estás interesado en prácticamente cualquier disciplina en álgebra, análisis, geometría o topología, no tendrás que familiarizarte íntimamente con la lógica matemática o los resultados anteriores. La mayoría de las veces, probablemente verá algo llamado Axioma de Elección (o su equivalente útil, el Lema de Zorn), y escuchará cómo es independiente de los axiomas de la teoría de conjuntos, como la hipótesis del continuo. Entonces, probablemente dirás “Ehhh, está bien, supongamos que es cierto entonces, porque parece plausible y es realmente útil”.
