¿Cuál es un ejemplo de un sistema cuántico con un número infinito de estados de energía permitidos?

En un metal, esto se llama banda de conducción. Pero, en realidad, dado un poco de material conductor, no importa cuán grande y aislado, los electrones de la banda de conducción también se cuantifican por las condiciones límite impuestas por la superficie de la sustancia.

¿No es esta una forma maravillosa de entender las cosas?

Seguro. Pero lo podemos hacer mejor.

Despeguemos una capa más de idealización. Podemos obtener una mejor visión de las cosas. Nada existe como un sistema aislado. Como tal, nada está cuantificado. Siempre. Ni siquiera partículas fundamentales. La teoría de cuerdas explica esto con gran detalle.

En algún momento de su historia, un electrón puede unirse a un átomo. La amplitud de probabilidad de esta ocurrencia abarca todo el tiempo. Por lo tanto, la amplitud de probabilidad de que se separe o cambie de orbitales también abarca todo el tiempo. El sistema nunca está en un estado cuantificado exacto.

Esto es cierto para las partículas fundamentales. Sus amplitudes de probabilidad nunca son —nunca— inmutables.

Hay infinitos sistemas de este tipo: además del hecho de que podemos agregar términos de perturbación al hamiltoniano del átomo de hidrógeno para producir diferentes sistemas que tengan un número infinito de estados de energía permitidos, cualquier hamiltoniano físico en un espacio de Hilbert de dimensión infinita. se garantiza que tiene infinitos estados propios. En inglés, esto significa que si consideramos cualquier sistema que depende de una variable infinita como la posición o el momento, habrá infinitos estados de energía de ese sistema.

Tomemos, por ejemplo, el sistema más simple imaginable: una partícula libre en una dimensión. El hamiltoniano relevante es

[math] \ large \ hat {H} = \ frac {\ hat {p} _x ^ 2} {2m} [/ math].

Ahora, si has tomado mecánica cuántica de nivel universitario (mis sinceras disculpas si no lo has hecho, ya que estoy a punto de arrojarte una gran cantidad de jerga), sabes que los estados propios de este Hamiltoniano son precisamente los estados propios de la operador de impulso, a saber, [matemática] \ mid [/ matemática] [matemática] p_x \ rangle [/ matemática]. Las energías de estos estados son entonces

[matemática] \ grande p_ {x} ^ 2 / 2m [/ matemática],

o simplemente la energía cinética con la que estás familiarizado con la mecánica clásica. Pero, hay infinitos (de hecho, infinitamente infinitos) muchos de esos estados de momento (que corresponden a los estados de posición-espacio a través de una transformada de Fourier), ¡cada uno con una energía diferente!

Otro ejemplo extremadamente importante de un sistema con infinitos estados de energía es el oscilador armónico cuántico. Esta es esencialmente la ‘actualización cuántica’ del oscilador armónico de la mecánica clásica, cuyo hamiltoniano está dado por

[matemáticas] \ large \ hat {H} = \ frac {\ hat {p} _x ^ 2} {2m} + \ frac {1} {2} m \ omega ^ 2 \ hat {x} ^ 2. [/ matemáticas]

No pasaré por la derivación aquí, pero el resultado es que puedes imaginar que cada uno de los estados de energía de este sistema tiene un cierto número de ‘partículas’ abstractas, cada una con energía [matemáticas] \ hbar \ omega [/ matemáticas ] Luego puede escribir la ecuación de valor propio como

[matemáticas] \ large \ hat {H} \ mid n \ rangle = (\ frac {1} {2} + n) \ hbar \ omega \ mid n \ rangle [/ math],

donde n es un número entero de 0 a infinito. Por cierto, ese 1/2 es un término bastante interesante, ¡te dice que el estado fundamental de un oscilador armónico tiene una energía distinta de cero!

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