La pregunta debería indicar el soporte de x, pero está bien porque esta es solo una distribución de Poisson, como es obvio si pones lambda = -ln (theta), es decir, theta = exp (-lambda). Entonces el soporte de x es 0, 1, 2,…. Sería mejor trabajar con lambda, pero me quedaré con la parametrización en la pregunta.
Para encontrar el estimador de máxima verosimilitud, encuentre la distribución conjunta de las observaciones. Si son independientes, simplemente multiplica las probabilidades
L = f (x_1, theta) f (x_2, theta) … f (x_n, theta). El máximo está en el mismo punto que el máximo de ln (L), por lo tanto, agregue los registros de las probabilidades.
Es decir, ln (L) = x_1 ln (-ln (theta)) + x_2 ln (-ln (theta)) +… + x_n ln (-ln (theta))
+ n ln (theta) – (ln (x_1!) + ln (x_2!) +… + ln (x_n!)).
Ahora diferencie con respecto a theta y establezca la derivada en cero.
Observe que los términos factoriales desaparecen y los primeros n términos tienen un factor común. Realmente sería mejor usar lambda, pero de todos modos si x = sum (x_i) entonces
dln (L) / dtheta = x / (-theta (-ln (theta))) + n / theta
que es cero cuando ln (theta) = -x, entonces theta hat = e ^ -x.
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