Cómo trazar las funciones de onda del átomo de hidrógeno

Un sistema de álgebra computacional como Mathematica puede ser útil y útil para trazar y representar gráficamente las funciones de onda del átomo de hidrógeno de varias maneras diferentes.

Una primera forma es tomar el cuadrado del valor absoluto de la función de onda y usar la parte armónica esférica [matemáticas] Y_ {lm} (r, w) [/ matemáticas], con una variación de [matemáticas] l [/ matemáticas] y [matemáticas] m [/ matemáticas].

Escribiendo el código:

• ¿Sería posible la mecánica cuántica sin números complejos?
• ¿Cuáles son algunas de las formas en que aparece la complementariedad en la mecánica cuántica? ¿Qué tiene esto que ver con la incertidumbre cuántica?
• ¿Qué son los números cuánticos y sus 4 números?
• ¿Cuál es el algoritmo cuántico más fácil de aprender para principiantes?
• ¿Cuál es una explicación simple de la criptografía cuántica?

{SphericalPlot3D [
Abs [Armonía esféricaY [0, 0, r, w]] ^ 2, {r, 0, Pi}, {w, 0, 2 Pi},
En caja -> Falso, Ejes -> Falso, PlotPoints -> 150,
ColorFunction -> Function [{r, w, z}, Hue [z]], Mesh -> 4],
SphericalPlot3D [
Abs [Armonía esféricaY [1, 0, r, w]] ^ 2, {r, 0, Pi}, {w, 0, 2 Pi},
En caja -> Falso, Ejes -> Falso, PlotPoints -> 150,
ColorFunction -> Function [{r, w, z}, Hue [z]], Mesh -> 4],
SphericalPlot3D [
Abs [Armonía esféricaY [1, 1, r, w]] ^ 2, {r, 0, Pi}, {w, 0, 2 Pi},
En caja -> Falso, Ejes -> Falso, PlotPoints -> 150,
ColorFunction -> Function [{r, w, z}, Hue [z]], Mesh -> 4]}

produce la siguiente trama 3D:

Para [matemática] l = 4 [/ matemática] y [matemática] m = 2 [/ matemática] se obtiene la siguiente gráfica:

Una segunda forma de trazar las funciones de onda es escribir el siguiente código de Mathematica:

[correo electrónico protegido]
Tabla [SphericalPlot3D [
[correo electrónico protegido] @SphericalHarmonicY [l, m, \ [Theta], \ [Phi]], {\ [Theta],
0, Pi}, {\ [Phi], 0, 2 Pi}, PlotRange -> 0.6, Malla -> Ninguno,
En caja -> Falso, Ejes -> Ninguno, Tamaño de imagen -> 125,
ColorFunction -> “NeonColors”], {l, 0, 3}, {m, 0, l}]

La trama 3D resultante es (haga clic en la imagen para ampliarla):

Una tercera forma es usar un código interesante de Mathematica que se puede encontrar en el siguiente enlace:

¿Hay algo como DensityPlot3D para visualizar orbitales atómicos?

Como ejemplo, aquí hay un fragmento de código del enlace de arriba (con algunas modificaciones), usando la función RegionPlot3D [] Mathematica, y mostrando los valores de los números cuánticos [math] n [/ math], [math] l [ / math] y [math] m [/ math]:

Borrar [rMin, rMax, r, \ [Theta], \ [Phi]];
{rMin [n_, l_], rMax [n_, l_]} =
r /. Simplifique [Resolver [(l * (l + 1)) / r ^ 2 – 2 / r == – (1 / n ^ 2), r], n> 0];
sphericalToCartesian =
Hilo [{r, \ [Theta], \ [Phi]} -> {Sqrt [x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2],
ArcCos [z / Sqrt [x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2]], Arg [x + I * y]}];
\ [Psi] [n_, l_, m _] [
r_, \ [Theta] _, \ [Phi] _]: = (Sqrt [(n – l – 1)! / (n + l)!] * ((2 * r) / n) ^
l * (2 / n ^ 2) * LaguerreL [n – l – 1, 2 * l + 1, (2 * r) / n] *
Armónica esféricaY [l, m, \ [Theta], \ [Phi]]) / E ^ (r / n)
ClearAll [plotOrbital];
plotOrbital [f_, range_, contour_, opt: OptionsPattern []]: =
RegionPlot3D [
Evalúe [Abs [f [r, \ [Theta], \ [Phi]] /. sphericalToCartesian] ^ 2>
contorno], {x, -rango, rango}, {y, -rango, rango}, {z, -rango,
range}, opt, Mesh -> False, PlotPoints -> 35,
ColorFunction -> “Rainbow”, Lighting -> “Neutral”,
PlotTheme -> “Clásico”]
grid = Table [
Etiquetado [plotOrbital [\ [Psi] [n, l, m], 2 * n ^ 2, 0.05 / n ^ 6],
Fila [{“n =”, n, “, \ [ScriptL] =”, l, “, m =”, m}]], {n, 1,
3}, {l, 0, n – 1}, {m, 0, l}];
Columna [cuadrícula]

La trama 3D resultante es:

Y otra buena manera de visualizar las funciones de onda es usar el comando Manipulate [] y la función DensityPlot [] Mathematica. El usuario puede modificar los parámetros y los números cuánticos [matemática] n [/ matemática], [matemática] l [/ matemática] y [matemática] m [/ matemática]. El código está tomado de un cuaderno de Mathematica (HydrogenOrbitals.nb) que se puede encontrar en el siguiente enlace:

Cuadernos de Mathematica

El codigo es:

Rnl [n_, l_, r_]: = (r ^ l) * Exp [-r / 2] * LaguerreL [nl-1, 2 * l + 1, r];
Ylm [l_, m_, theta_, phi_]: = SphericalHarmonicY [l_, m, theta, phi];

Manipular [If [l> = n, l = n – 1];
Si [m> l, m = l];
DensityPlot [
Módulo [{r = Norma [{x, 0, z}]},
4 \ [Pi] r ^ 2 (Rnl [n, l, r]) ^ 2 Re [
Ylm [l, m, ArcCos [z / r], ArcTan [x, 0]] *
Conjugado [Ylm [l, m, ArcCos [z / r], ArcTan [x, 0]]]]
],
{x, -side, side}, {z, -side, side}, Mesh -> False, Frame -> False,
PlotPoints -> Round [resolución], ColorFunctionScaling -> True,
ColorFunction -> “SunsetColors”,
PlotRange -> {0, 10 ^ scale}], {{n, 8, “número cuántico principal”}, 1,
8, 1, ControlType -> Setter}, {{l, 3, “momento angular”},
Rango [0, n – 1],
ControlType -> SetterBar}, {{m, 1, “número cuántico magnético”},
Rango [0, l],
ControlType -> SetterBar}, {{lado, 40, “Longitud de un lado”}, 1, 200,
ControlType -> Control deslizante [Dinámico [lado]]}, {{escala, 16,
“Escala vertical”}, 1, 30, ControlType -> Control deslizante [Dinámico [escala]]},
{{resolución, 40, “Resolución”}, 30, 100,
ControlType -> Control deslizante [Dinámico [escala]]}
]

A continuación se muestra un ejemplo de la gráfica resultante para [matemática] n = 3 [/ matemática], [matemática] l = 1 [/ matemática] y [matemática] m = 1 [/ matemática]:

Y la gráfica resultante para los números cuánticos [matemática] n = 4 [/ matemática], [matemática] l = 3 [/ matemática] y [matemática] m = 0 [/ matemática]:

Mathematica puede guardar el cuaderno de Mathematica y el código dentro de él como una página html, y las imágenes de las parcelas pueden guardarse como mapas de bits o archivos animados e insertarse en una página web.

Espero que esta respuesta haya sido instructiva.