Un estado cuántico general se representa mejor mediante un vector en un espacio complejo de Hilbert. Un espacio de Hilbert es un espacio completo (cada secuencia de Cauchy converge a un elemento dentro del espacio). Permite una métrica y un producto escalar entre vectores.
Para ajustarse a las observaciones, la dimensión del espacio de Hilbert debe ser igual a los resultados que la medición del estado puede producir. Por ejemplo, la polarización de un fotón puede producir solo dos resultados, por lo que la propiedad de polarización del fotón se describe en un espacio de Hilbert bidimensional.
Para medir un estado cuántico, uno debe elegir una base (en la que se mide el estado) y representar el vector de estado como una combinación lineal de los componentes de la base.
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Un vector de estado general representado en cierta base tiene la forma
[matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ alpha_k | \ psi_k \ rangle [/ matemáticas]
El vector se representa como la suma de los componentes básicos. Pero, ¿cuáles son los coeficientes de estos vectores (los alfas)? Son la función de onda de cada vector. Si obtuvo la función de onda, también puede calcular la probabilidad de que el sistema se encuentre en ese estado después de la medición en la base correspondiente. La probabilidad de que el sistema esté en [matemática] | \ psi_k \ rangle [/ matemática] después de que la medición esté dada por [matemática] | \ alpha_k | ^ {2}. [/ Matemática] Tenga en cuenta que esto implica que [matemática] \ sum_ {k = 1} ^ {n} [/ math] [math] | \ alpha_k | ^ {2} = 1 [/ math] es decir, el vector es la norma 1. Esto se debe a que la suma de probabilidades debe sumar a 1.
También puede representar los componentes de la base elegida como vectores de columna:
[matemáticas] | \ psi_1 \ rangle = \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\… \\ 0 \ end {pmatrix} [/ math]
[matemáticas] | \ psi_k \ rangle = \ begin {pmatrix} 0 \\… \\ 1 \\… \\ 0 \ end {pmatrix} [/ math]
Por lo tanto, su vector inicial también se puede representar como un vector de columna:
[matemáticas] | \ psi_1 \ rangle = \ begin {pmatrix} \ alpha_1 \\\ alpha_2 \\… \\ \ alpha_n \ end {pmatrix} [/ math]
Ahora digamos que nuestro vector ha sido modificado. La modificación del vector se puede describir mediante una matriz unitaria: U [matemáticas] | \ phi \ rangle = | \ phi ‘\ rangle. [/ Matemáticas] La matriz tiene que ser unitaria porque las leyes de la física son simétricas con respecto a tiempo, por lo que debe existir un operador U [matemática] ^ {- 1} [/ matemática] que transforma [matemática] | \ phi ‘\ rangle [/ matemática] de nuevo a [matemática] | \ phi \ rangle. [/mates]
También sabemos que la energía del sistema debe conservarse. Por lo tanto, debe haber una cantidad que describa la energía que permanece sin cambios con la traducción del tiempo. Ese es el hamiltoniano del sistema H.
En conclusión, cualquier operador unitario U que transforma el vector de estado en el tiempo debe tener la forma
[matemáticas] U = e ^ {\ frac {-iHt} {\ hbar}}. [/ matemáticas]
Donde i es la unidad imaginaria, H es el hamiltoniano del sistema, t es el tiempo y [math] \ hbar [/ math] es la constante reducida de Plank.
