Las otras respuestas aquí tienen los principios correctos para explicar por qué la operación definida en la pregunta no merece el término “multiplicación”, pero probablemente confundiría a la mayoría de las personas que aún no han encontrado matemáticas en la abstracción a nivel universitario. Entonces, lo que sigue es una larga explicación para las personas con menos conocimientos matemáticos previos, seguida de una discusión sobre los análogos más cercanos posibles a la exponenciación y la tetración.
Esta pregunta es como preguntar: “¿Qué pasaría si la circunferencia de un círculo se definiera como tres veces el diámetro en lugar de [matemáticas] \ pi [/ matemáticas]?” Es posible que pueda salvar algún tipo de sistema geométrico de eso mediante una redefinición radical de la noción de distancia, pero esta redefinición tendría que eliminar la mayoría de las propiedades que hacen de la distancia una noción útil en primer lugar. De manera similar aquí, hay sistemas numéricos con una noción de multiplicación y cero como identidad multiplicativa, pero estos sistemas numéricos 1) son estúpidamente triviales o 2) tienen que redefinir la “multiplicación” para ser esencialmente inútiles.
Déjame elaborar. La mayoría de los sistemas matemáticos familiares (los enteros, los números reales, los números complejos e incluso las matrices) son ejemplos de anillos . La descripción de un anillo en Wikipedia es sumamente abstracta, por lo que proporcionaré mi propia paráfrasis: un anillo es cualquier sistema de números junto con nociones de suma y multiplicación que se ajustan aproximadamente a nuestras intuiciones del mundo real sobre cómo funcionan los números . La suma y la multiplicación son operaciones estrictamente binarias : toman exactamente dos números en un orden dado y devuelven un tercero. En particular:
- ¿Cómo calculamos la beta de una acción? ¿Por qué diferentes fuentes informan diferentes valores?
- ¿Cuál es la ecuación matemática correcta para el siguiente problema informático?
- Recientemente he entregado mis tableros (12) y quiero hacer una mecánica BTech. Espero 85% en tableros, pero estoy seguro de que no romperé el avance de IIT. ¿Qué debo hacer, dejar un año y tomar clases de IIT o elegir la universidad solo este año? ¿Es seguro dejar caer un año?
- ¿Existen los números irracionales que no son construibles en la recta numérica real?
- ¿Cuál es la explicación rigurosa de por qué n / m es el factor de carga en una tabla hash?
- La suma es asociativa y conmutativa: es decir, [matemáticas] (a + b) + c = a + (b + c) [/ matemáticas] y [matemáticas] a + b = b + a [/ matemáticas]. (El resultado del axioma de asociatividad, por cierto, es que no tenemos que preocuparnos por las agrupaciones exactas de paréntesis en sumas de tres o más términos; de esta manera, “suma de tres o más términos” tiene sentido).
- Hay una identidad aditiva [matemática] 0 [/ matemática] tal que [matemática] a + 0 = a [/ matemática] para todos [matemática] a [/ matemática].
- Cada elemento [math] a [/ math] tiene un inverso aditivo [math] (- a) [/ math] tal que [math] a + (-a) = 0 [/ math].
- La multiplicación es asociativa: es decir, [matemáticas] (ab) c = a (bc) [/ matemáticas]. (Si agregamos la conmutatividad de la multiplicación, a saber, [matemática] ab = ba [/ matemática], tendríamos la categoría más pequeña de anillos conmutativos , una clase que excluye, por ejemplo, matrices de dimensión 2 o mayor).
- La multiplicación se distribuye sobre la suma: es decir, [matemáticas] a (b + c) = ab + ac [/ matemáticas] y [matemáticas] (a + b) c = ac + bc [/ matemáticas] (recuerde que no estamos asumiendo la multiplicación para ser conmutativa, ¡por lo que deben ser axiomas separados!)
- Hay una identidad multiplicativa [matemática] 1 [/ matemática] tal que [matemática] 1a = a1 = a [/ matemática] para todos [matemática] a [/ matemática]. (Este axioma está aquí en parte porque de otro modo podríamos definir [matemática] ab = 0 [/ matemática] para cualquier [matemática] a, b [/ matemática], lo que sería una noción estúpida de “multiplicación” pero satisfaría la asociatividad y distributividad.)
Tenga en cuenta que estas definiciones son todas puramente abstractas y teóricas . No tenemos idea de qué suma y multiplicación corresponden “en el mundo real”, o en algún sentido físico; solo sabemos que tenemos un conjunto con dos funciones, suma y multiplicación, que toman un par de elementos de ese conjunto y devuelven algún otro elemento, y que hay dos elementos distinguidos [math] 0 [/ math] y [math] 1 [/ matemática] con cualidades especiales. Tenga en cuenta que la mayoría de estas propiedades son cosas que probablemente aprendió en pre-álgebra de sexto grado, porque son lo que nos permite hacer matemáticas en los números reales sin agonizar sobre cómo demostrar cosas como [matemáticas] 2 (2 + x) = 2x +4 [/ matemáticas].
Estos axiomas, tan generales como pueden parecer, en realidad son suficientes para establecer una serie de resultados de sentido común. Por ejemplo, lo remito a la apertura del Capítulo 2 del libro de Robert Ash, Álgebra abstracta: el año de posgrado básico . Uno de estos resultados es que cada número multiplicado por la identidad aditiva, a saber. [matemáticas] 0 [/ matemáticas] , es [matemáticas] 0 [/ matemáticas] en sí . La prueba sostiene si se considera la multiplicación a la izquierda o la multiplicación a la derecha por [matemáticas] 0 [/ matemáticas] y, de hecho , no requiere la conmutatividad de la multiplicación . Sigue una prueba; He sido extremadamente cuidadoso al justificar cada paso por los axiomas.
Prueba: Tome dos elementos arbitrarios [matemática] a, b [/ matemática] del anillo. Como [math] b = b + 0 [/ math] por las propiedades de la identidad aditiva, entonces [math] ab = a (b + 0) = ab + a0 [/ math]. [math] ab [/ math] tiene algún inverso aditivo [math] (- ab) [/ math]; si agregamos esto a la derecha a ambos lados de la ecuación, obtenemos [math] ab + (-ab) = (ab + a0) + (-ab) [/ math].
El lado derecho de esta ecuación se puede manipular para obtener [matemática] (a0 + ab) + (-ab) [/ matemática] mediante la conmutatividad de la suma y de allí obtener [matemática] a0 + (ab + (-ab)) [ / matemáticas] por asociatividad; esto nos da [math] ab + (-ab) = a0 + (ab + (-ab)) [/ math]. Como [math] ab + (-ab) = 0 [/ math] por definición de inversos aditivos, esto nos da [math] 0 = a0 + 0 = a0 [/ math], el último paso por una propiedad de la identidad aditiva . Esto prueba que [math] a0 = 0 [/ math] para cada elemento de anillo [math] a [/ math]; la prueba de que [math] 0a = 0 [/ math] procede a lo largo de líneas idénticas, quod erat demonstrandum .
Entonces, ¿qué sucede si forzamos la identidad aditiva [matemáticas] 0 [/ matemáticas] para que sea la identidad multiplicativa [matemáticas] 1 [/ matemáticas]? Por definición, cualquier [matemática] a [/ matemática] multiplicada por la identidad multiplicativa debe ser [matemática] a [/ matemática] misma; pero por lo que acabamos de demostrar, cualquier [matemática] a [/ matemática] veces la identidad aditiva es la identidad aditiva misma. Si estas dos identidades son iguales, entonces nuestra única salida es decir que cada elemento en este anillo es la identidad aditiva , es decir, hemos encontrado un anillo con un elemento (enlace de Wikipedia: Campo con un elemento; en términos generales, los campos son una subclase de anillos que permiten la división y la multiplicación).
Entonces, si queremos redefinir la multiplicación de esta manera, tenemos que morder la bala de una de dos maneras: 1) trabajar en un universo con solo un número, o 2) entregar uno de los axiomas del anillo y, con él, la capacidad de hacer manipulaciones algebraicas de manera efectiva. (Mire hacia atrás cuán cuidadosamente justifiqué mi prueba y pregúntese si podría replicar cualquiera de los pasos utilizando solo los otros axiomas).
Y, de hecho, la noción de multiplicación propuesta en la pregunta rompe estos axiomas. La regla de recursión [matemáticas] (x + 1) y = xy + y [/ matemáticas] no tiene sentido si [matemáticas] 1 = 0 [/ matemáticas], así que no llamemos a esto “multiplicación”; en su lugar, definámoslo con el símbolo [math] \ diamondsuit [/ math], por las relaciones de recursión [math] (x + 1) \ diamondsuit y = x \ diamondsuit y + y [/ math] y [math] 0 \ diamante y = y [/ matemáticas], con nuestras nociones típicas (enteras) de lo que significan [matemáticas] 0 [/ matemáticas], [matemáticas] 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] + [/ matemáticas].
Entonces tenemos una violación de la distributividad: [matemáticas] 0 \ traje de diamantes 1 = 1 [/ matemáticas] (caso base de recursión) y [matemáticas] 1 \ traje de diamantes 1 = (0 \ traje de diamantes 1) + 1 = 1 + 1 = 2 [/ matemáticas], muy claramente [matemáticas] 1 \ diamondsuit (1 + 0) = 2 \ neq (1 \ diamondsuit 1) + (1 \ diamondsuit 0) = 3 [/ math]. También viola la conmutatividad: [math] 1 \ diamondsuit 0 = (0 \ diamondsuit 0) + 0 = 0 [/ math], entonces [math] 1 \ diamondsuit 0 \ neq 0 \ diamondsuit 1 [/ math]. Por último, viola la asociatividad: [matemáticas] (1 \ traje de diamantes 0) \ traje de diamantes 1 = 0 \ traje de diamantes 1 = 1 [/ matemáticas], pero [matemáticas] 1 \ traje de diamantes (0 \ traje de diamantes 1) = 1 \ traje de diamantes 1 = 2 [/mates]. Nuestra función de diamante puede tener algunas propiedades matemáticamente interesantes, pero ninguna de estas propiedades son las que deberíamos llamar multiplicación en un sentido significativo.
Actualizado para agregar: Aaron Hosford solicitó algunas propiedades del nuevo operador [math] \ diamondsuit [/ math]. Por supuesto, podríamos decir cualquier cantidad de cosas sobre este operador; la obvia es la fórmula general [math] x \ diamondsuit y = xy + y [/ math], que es fácil de probar por inducción. Tenga en cuenta que cero es solo la identidad “multiplicativa” para la multiplicación de diamantes a la izquierda, no a la derecha ; Esta es una violación adicional de los axiomas del anillo, que implican la singularidad de la identidad multiplicativa (ver Ash para una prueba). Hay formas de arreglar esto; uno puede ser definir [matemática] x \ traje de diamantes y = xy + x + y [/ matemática], lo que incidentalmente restaura la conmutatividad. Pero sigamos con nuestra definición original por ahora.
Denotemos un análogo de exponenciación por [math] \ spadesuit [/ math], con [math] x \ spadesuit y [/ math] representando [math] x ^ y [/ math]. ¿Qué podemos decir sobre esto? Bueno, primero, esa exponenciación no está exactamente bien definida: dos relaciones de recursión plausibles son [matemáticas] x \ spadesuit y = x \ diamondsuit (x \ spadesuit (y-1)) [/ math] o [math] x \ spadesuit y = (x \ spadesuit (y-1)) \ diamondsuit x [/ math], que eventualmente reducirá [math] x \ spadesuit y [/ math] a una cadena grande “diamonded” de [math] x [/ math ] ‘s, de alguna manera entre paréntesis; como [math] \ diamondsuit [/ math] no es conmutativo, sin embargo, estas relaciones de recursión no son equivalentes, por lo que debemos tomar alguna decisión.
Sin embargo, si aceptamos que [math] x \ spadesuit 0 [/ math] debería ser la identidad multiplicativa (por analogía con [math] x ^ 0 = 1 [/ math]), entonces tiene sentido para [math] x \ spadesuit 0 = 0 [/ math] será el caso base y, dado que cero es solo el inverso multiplicativo a la izquierda, [math] x \ spadesuit y = (x \ spadesuit (y-1)) \ diamondsuit x [/ math] debería ser la relación recursiva. Esto garantiza, por ejemplo, [math] x \ spadesuit 1 = (x \ spadesuit 0) \ diamondsuit x = 0 \ diamondsuit x = x [/ math]. Del mismo modo, [math] x \ spadesuit 2 = (x \ spadesuit 1) \ diamondsuit x = x \ diamondsuit x = x ^ 2 + x [/ math], y así sucesivamente: [math] x \ spadesuit 3 = (x ^ 2 + x) \ diamondsuit x = x ^ 3 + x ^ 2 + x [/ math], y en general [math] x \ spadesuit n = \ sum_ {k = 1} ^ nx ^ k [/ math].
(Si hubiéramos elegido la otra relación de recursión, por cierto, habríamos obtenido [matemática] x \ spadesuit y = 0 [/ matemática] por cada [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática ]; Te dejo que entiendas por qué.)
Segunda actualización: la Tetración es donde todo el edificio comienza a temblar un poco. Si escribimos [math] \ spadesuit \ spadesuit [/ math] para la tetración (siguiendo la notación de flecha hacia arriba de Knuth), entonces la definición recursiva obvia del análogo de la tetración es [math] x \ spadesuit \ spadesuit y = x \ spadesuit (x \ spadesuit \ spadesuit (y-1)) [/ math], con el caso base [math] x \ spadesuit \ spadesuit 0 = 0 [/ math] (en lugar de [math] 1 [/ math] como en la tetración normal). Esto nos lleva inmediatamente [math] x \ spadesuit \ spadesuit 1 = x \ spadesuit (x \ spadesuit \ spadesuit 0) = x \ spadesuit 0 = 0 [/ math], y así más arriba: [math] x \ spadesuit \ spadesuit 2 = x \ spadesuit (x \ spadesuit \ spadesuit 1) = 0 [/ math], etc. por inducción. En general, todo tentado con todo es cero.
Podríamos intentar solucionar esto cambiando la relación de recursión o cambiando el caso base. El primero no es realmente plausible: la única solución algo justificable sería [matemáticas] x \ spadesuit \ spadesuit y = (x \ spadesuit \ spadesuit (y-1)) \ spadesuit x [/ math], que rompe la analogía con tetración estándar en la que [matemática] x \ uparrow \ uparrow 3 [/ matemática] es [matemática] x ^ {(x ^ x)} [/ matemática], no [matemática] (x ^ x) ^ x [/ matemática] .
Pero probémoslo de todos modos. Entonces [matemáticas] x \ spadesuit \ spadesuit 1 = (x \ spadesuit \ spadesuit 0) \ spadesuit x = 0 \ spadesuit x = (0 \ spadesuit (x-1)) \ diamondsuit 0 [/ math]; no es difícil evaluar esto inductivamente hasta [matemáticas] ((((0 \ spadesuit 0) \ diamondsuit 0) \ ldots) \ diamondsuit 0) [/ math], y como [math] 0 \ spadesuit 0 [/ math] solo podría ser plausiblemente la identidad multiplicativa [math] 0 [/ math], por lo que toda esta expresión es cero.
Luego tenemos [math] x \ spadesuit \ spadesuit 2 = (x \ spadesuit \ spadesuit 1) \ spadesuit x = 0 \ spadesuit x = 0 [/ math], y, bueno, puedes ver a dónde va esto. El problema básico es que [math] x \ spadesuit 0 = 0 [/ math]; cualquier expansión de [math] x \ spadesuit \ spadesuit y [/ math] terminará eventualmente con [math] 0 [/ math] en uno u otro extremo de una larga cadena de [math] \ spadesuit [/ math] . Demasiado para esta solución.
Cambiar el caso base también tensa un poco la credulidad: [math] x \ spadesuit \ spadesuit 0 [/ math] es la “torre exponencial vacía”, que se parece mucho al “producto vacío” [math] x \ spadesuit 0 [/ math] que me resulta difícil justificar asignarles valores diferentes. Sin embargo, evadamos la dificultad declarando [math] x \ spadesuit \ spadesuit 0 [/ math] un caso especial y usemos [math] x \ spadesuit \ spadesuit 1 = x \ spadesuit 1 = x [/ math] como nuestro nuevo caso base. Entonces [matemáticas] x \ spadesuit \ spadesuit 2 = x \ spadesuit (x \ spadesuit \ spadesuit 1) = x \ spadesuit x = \ sum_ {k = 1} ^ xx ^ k [/ math]. Podríamos continuar: [matemáticas] x \ spadesuit \ spadesuit 3 = x \ spadesuit \ sum_ {k = 1} ^ xx ^ k = \ sum_ {k = 1} ^ {x ^ x + \ ldots + x + 1 } x ^ k [/ matemáticas], luego [matemáticas] x \ spadesuit \ spadesuit 4 = \ sum_ {k = 1} ^ {x ^ {x ^ x} + x ^ {x ^ x-1} + \ ldots + 1} x ^ k [/ matemáticas]. En una bonita forma recursiva compacta, [math] x \ spadesuit \ spadesuit n = \ sum_ {k = 1} ^ {x \ spadesuit \ spadesuit (n-1)} x ^ k [/ math]. Esta es probablemente la forma más plausible de interpretar la tetración.
En cuanto a explicaciones intuitivas de por qué sucede todo esto: no creo que el hecho de que [matemáticas] x \ spadesuit y = x ^ y + x ^ {y-1} + \ ldots + x [/ matemáticas] sea particularmente profundo. Sin embargo, esta es mi mejor respuesta: [matemáticas] x \ traje de diamantes y [/ matemáticas] puede entenderse como “incrementar [matemáticas] x [/ matemáticas] y multiplicar” – después de todo, nuestra elección de [matemáticas] 0 [/ matemáticas] en lugar de [math] 1 [/ math] para el caso base, simplemente agrega otra [math] y [/ math] a la expansión recursiva [math] y + y + \ ldots + y [/ math]. Cuando tienes una expresión como [math] (((0 \ diamondsuit x) \ diamondsuit x) \ ldots) \ diamondsuit x [/ math], que es a lo que se expande [math] x \ spadesuit y [/ math], luego evaluar esto podría parafrasearse como “incrementar [matemática] 0 [/ matemática] a [matemática] 1 [/ matemática] y multiplicar, obteniendo [matemática] x [/ matemática]; incrementar esto a [matemática] x + 1 [/ matemática ] y multiplique por [matemáticas] x [/ matemáticas], obteniendo [matemáticas] x ^ 2 + x [/ matemáticas]; incremente esto a [matemáticas] x ^ 2 + x + 1 [/ matemáticas] … “En otras palabras, el paso de “incremento” sigue agregando poderes más pequeños de [math] x [/ math], para reemplazar el espacio dejado por el paso de “multiplicar” que hace que los poderes existentes sean más grandes.
