¿Existen los números irracionales que no son construibles en la recta numérica real?

No

Los números son ideas humanas, conceptos, no tienen masa, impulso o energía. No hay forma de detectarlos, sino un lector de cerebro humano que aún no se ha diseñado. Cuando se haya inventado el lector cerebral, veremos cómo la idea del número pi no es la misma en dos cerebros, por lo que los números seguirán siendo objetos del UHI (universo de ideas humanas).

Estoy completamente equivocado?
Esto es solo una opinión, ..

La importancia de los números (y los números reales, que no son tan reales como se jactan,
El dicho español dice:
dime que bragg
y te diré lo que te falta)
La importancia de los números para la vida real puede ilustrarse pensando en qué hacemos con ellos y cómo los representamos dentro y fuera de nuestro cerebro.

He leído en artículos recientes que nuestro cerebro conserva una representación aproximada de números que consiste en una línea recta con números del 0 al diez muy bien representados y luego la línea recta sigue desapareciendo en detalles y muestra una especie de escala logarítmica con cien cerca de mil etc. De esta manera podemos agregar cantidades aparentes como miles más miles y unidades a unidades.

La habilidad, las técnicas, para asegurar fielmente un punto, una sola posición en línea recta, en una correspondencia uno a uno, es de suma importancia práctica.

Un rey necesita representar en una barra de mármol una longitud de la población, una longitud del stock de granos. Una longitud del grano de magnitud sobre la población, una longitud con la cantidad de oro, con el número de tropas y las tropas del enemigo, con la magnitud de oro sobre las tropas. Para construir un templo, un castillo, etc., es necesario decir cuánto dura.

Los griegos, hace 2500 años, habían desarrollado un sistema de números y un procedimiento para dibujar cualquiera de los números en línea recta. Nuestros racionales. Podrían calcular cualquiera de sus números y dibujar en la línea una infinidad de otros números.
yo enemigo
—————— I —————- I ——————-
libras de oro 46 87 procedimiento para llenar el intervalo con infinito-muchos números 87 + 46 / n n-> infinito
tropas 2140 8000

Entonces, cuando uno de los muchachos de los números hizo público sus hallazgos de que había infinitas “brechas” en la línea, correspondientes a números cuya extraña naturaleza los hacía inalcanzables con la técnica conocida, se asustaron.

Creían que podían colocar cualquier cantidad en una barra. Y alguien llamó nuestra atención sobre un hecho simple: dibuja el cuadrado del lado uno y coloca la diagonal en una línea recta. Ahora intente llegar al mismo punto con el procedimiento que se ve arriba.
Los griegos terminaron agregando estos nuevos números a su sistema. Entonces tenían rarionales, luego los construibles y los reales (pi, etc.).

Gracias por el A2A, aunque esta pregunta me entristece.

Pareces sufrir la misma condición que la mitad de la gente.
Que es una educación matemática terriblemente incorrecta / incompleta.

La matemática no se trata de números.
Las matemáticas son sobre construcciones.

Por ejemplo, los números naturales son solo un conjunto que contiene blob, cerrado bajo sucesión e infinito.
Esto produce el conjunto: {blob, s (blob), s (s (blob)), …}

Podemos, por ejemplo, tomar otro conjunto {blob, s (blob), s (s (blob))}, donde s (s (s (blob))) = blob. Esto es perfectamente válido: contiene blob y se cierra bajo sucesión, pero es finito . Por lo tanto, crea un llamado grupo finito , con 3 elementos. Dichos grupos tienen innumerables aplicaciones en diversos campos, pero las personas aburridas no los encuentran a menudo. Por qué no? Porque son inútiles si quieres contar manzanas.

Lo que me lleva a este hecho: los números naturales son un modelo. No son reales, son una abstracción y simplificación de la realidad.

Hay varias formas de extender esta definición a números racionales, reales, p-adic, surrealistas, imaginarios, complejos, galois, polinómicos y booleanos, cada uno de ellos útil en ciertas situaciones y completamente exagerado o inútil en otros.

Pero la mayoría de las personas todavía creen religiosamente que un tipo es más realista que el otro.

De acuerdo, es una preocupación justa. Creo que Bassam también hizo uno similar. Un estudiante avanzado de matemáticas necesita abordar esta pregunta. He hablado con mi amigo en la escuela, y él ha hablado sobre el peso de esos números. Debería encontrar esta discusión en la teoría de la medida.

Si reflexionas cuidadosamente, tomas la construcción de alguna manera como criterio de existencia. Es decir, cualquier objeto matemático que sea construible existe, de lo contrario es imaginario.

Tal preocupación lleva a cómo se puede construir cualquier objeto, o lo que se considera construcción. Esto es para hacer que exista el objeto matemático. Este tema no lo he explorado, pero quizás lo haga en el futuro.

Una afirmación que debe considerar es la capacidad de construcción de grandes dimensiones del espacio, en dimensiones que podemos ver. Esto no es posible después de tres dimensiones. Incluso la perspectiva de tres dimensiones generalmente se muestra en tableros de dos dimensiones. No se pueden construir en el sentido geométrico sugerido. Aunque pueden escribirse en álgebra lineal o notación de campo.

La pregunta sigue, ¿existen estos espacios?

Para cualquier preocupación de este tipo, es importante identificar el criterio para la existencia de tales objetos matemáticos. Si es construcción, ¿qué cuenta como construcción?

Has observado correctamente que los números racionales son muy densos. Hay un número infinito de números racionales entre 0 y 1. Sin embargo, todavía hay espacio para números irracionales construibles entre esos números racionales, y aún queda más espacio para los números irracionales no construibles. Cada uno de esos números se encuentra en la línea numérica, allí mismo, entre todos los números menores que él y todos los números mayores que él.

Que no puede calcularlo exactamente en su base deseada no importa. Aún está ahí. Que no puedas construirlo no importa. Todavía está allí, en el lugar que le corresponde.

TODOS los números están compuestos. Todos son fantasmas. Y no puede construirlos exactamente en el mundo físico, excepto 1, mediante el uso inteligente de las definiciones. Pero, sabemos dónde se encuentran en la recta numérica.

No sé qué sobre [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] te hace sospechar, o por qué crees que no existe, o por qué preguntas si es constante (lo es), o qué quieres decir cuando dices que [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] parece estar “moviéndose siempre hacia la nada”.

Nosotros, todos nosotros, decidimos sobre nuestras suposiciones en matemáticas. Acordamos nuestras convenciones cuando hablamos de matemáticas. Esto hace posible tener diferentes acuerdos y convenciones. Cuando hay diferentes convenciones, significa que podemos reconocer que son diferentes, y que los resultados que siguen de un conjunto de convenciones no tienen que ser los mismos que los resultados que se derivan de un conjunto diferente de convenciones.

El significado mismo de lo que es un número real tiene diferentes interpretaciones. Existe el entendimiento “clásico” y varios entendimientos constructivos diferentes. La comprensión clásica asume la lógica estándar y ciertos axiomas de la teoría de conjuntos. Con esos axiomas, puede mostrar que hay números reales que no tienen descripciones finitas, porque solo hay un número contable de descripciones, pero un número incontable de números reales. (La distinción entre contable e incontable se deriva de los axiomas estándar de la teoría de conjuntos). Esos números reales que no se pueden describir son los números que usted llama “números fantasmas”. El número π , sin embargo, no es uno de ellos. Tiene una descripción; Es un número que se puede describir.

Existen otros enfoques sobre los fundamentos de los números, varios enfoques no clásicos pero constructivos. Las cosas se vuelven mucho más complicadas cuando enfocas las matemáticas de manera constructiva, pero al menos ese enfoque aborda preguntas como las que haces.

Todos los números son abstaciones. No tienen una realidad física.

Incluso los números naturales son abstracciones. Dos naranjas son reales. Dos pájaros son reales. Pero un “dos” es una abstracción. No hay ‘dos’ en la realidad.

Como todos los números son abstracciones, su pregunta, “¿Existen los números irracionales que no son construibles?”, No es una pregunta bien definida. Como NO existen números en el mundo real, entonces la respuesta debe ser no.

Entonces, déjenme responder una pregunta similar: “¿Son los números irracionales que no son construibles realmente considerados números?”

Y la respuesta a eso es sí.

Pero, ¿qué significa que un número sea ‘constructible’?

Supongo que quiere decir que hay una manera de calcular tantos dígitos como desee. Por ejemplo, pi, aunque es irracional, es constructible. Considere este encabezado de método Java:

doble computePi (int numDigits)

Hay muchas formas de escribir este programa, por lo que pi es construible, siempre y cuando se dé cuenta de que eso significa que puede calcular tantos dígitos como desee.

¿Qué es un número irracional que no es construible? Hay un número infinito de ellos, pero encontrar uno que sea fácil de entender es un desafío.

¿Qué tal esto? Supongo que sabe que el conjunto de programas Java es infinitamente contable. Una forma de enumerarlos es en orden de tamaño (el número de caracteres) de un programa. Así que representemos esta lista de programas Java como este:

J1, J2, J3, J4, … Esto está bien definido.

Ahora hagamos un número irracional no computable a partir de esto.

Primero, necesita saber que lo siguiente:

Dado un programa Java, ¿cuál es el programa más corto que computa exactamente lo mismo?

Por ejemplo, hay muchos programas que pueden factorizar un número, pero ¿cuál es el más corto para hacerlo?

Y la respuesta es que se ha demostrado que es imposible responder esto. No existe un algoritmo que, dado un programa Java, devuelva el programa Java más corto que haga exactamente lo mismo. Eso en sí mismo es interesante.

Así que ahora podemos definir un número irracional entre 0 y 1 que no sea constructible.

Regrese a la lista de programas de Java: J1, J2, J3, …

Ahora construya el número irracional que se ve así:

.001101110…

Así es como se define cada dígito. El primer dígito es un 0 si el primer programa Java, J1, es el programa más corto que calcula lo que calcula. Y el primer dígito es un 1 si el primer programa Java, J1, tiene un programa más corto que calcula lo que sea que calcule.

Seguir con esto. En algún momento, por ejemplo, nos encontraremos con un programa que factoriza un número dado. ¿Le asignaremos un 0 o un 1? No sabemos, porque no sabemos si este programa es el más corto que factoriza un número.

Tenga en cuenta que un programa ES el programa más corto que, por ejemplo, tiene en cuenta o no. Entonces el número está bien definido. Simplemente no podemos calcularlo.

Esto es bastante abstracto. Confío en que ayuda.