Todo esto se reduce a pruebas de planaridad, porque puede dibujar cada gráfico en el espacio euclidiano 3D con bordes rectos.
Aquí hay un argumento simple: si elige cuatro puntos aleatorios [matemática] A, B, C, D [/ matemática] en [matemática] [0,1] ^ 3 [/ matemática], la probabilidad de que la línea se segmente [matemática] AB [/ math] y [math] CD [/ math] se cruzan obviamente es cero. Por lo tanto, si selecciona [matemática] n [/ matemática] puntos aleatorios en [matemática] [0,1] ^ 3 [/ matemática], para cualquier [matemática] n [/ matemática] finita, y dibuja todos los segmentos de línea posibles, el número esperado de intersecciones (que no sean los vértices [matemáticos] n [/ matemáticos]) sigue siendo cero y, por lo tanto, existen configuraciones de puntos [matemáticos] n [/ matemáticos] en [matemáticos] [0,1] ^ 3 [ / math] sin intersecciones.
El argumento anterior es, por supuesto, excesivo, y hay construcciones explícitas simples. Soy demasiado vago para comprobarlo ahora, pero supongo que puedes dibujar [matemáticas] K_n [/ matemáticas] colocando sus vértices en los puntos [matemáticas] (1,1 ^ 2,1 ^ 3) [/ matemáticas ] a [matemáticas] (n, n ^ 2, n ^ 3) [/ matemáticas].
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