¿Debo demostrar la mayoría de los teoremas en los libros de texto de matemáticas al aprender? (Lea los detalles).

Es una muy buena idea. Sigue haciendolo. Espere quedarse atrapado varias veces en cada teorema. La razón por la cual estos resultados se conocen como teoremas es porque fueron difíciles de probar para los pioneros del análisis riguroso.

Intenta demostrar el teorema. Cuando te quedes atascado, lee lo suficiente de la prueba impresa para darte la pista que necesitas para despegarte. Luego continúa hasta que te quedes atascado nuevamente.

Si tienes tiempo, esta es la mejor manera de aprender una rama de las matemáticas en mi opinión. Extraño los días en que tuve tiempo de hacer esto con un libro de texto. Aprenderá mucho más de esta manera que simplemente haciendo los ejercicios, y tendrá una comprensión más profunda del tema, y ​​comprobará si su comprensión es correcta. Y, como beneficio adicional, probablemente descubrirá bastantes errores en las pruebas impresas, lo que lo hará sentir inteligente.

No es necesario que tenga éxito por su cuenta al probar todos los teoremas (a muchos expertos les tomó muchos años hacer las pruebas fundamentales), pero haga todo lo posible y documente bien lo que pensó o hizo. Si sus pensamientos están bien documentados, cuando vea una solución más tarde, los puntos principales de por qué la solución funciona le aparecerán claramente (ya que la había perdido). De lo contrario, solo comprender las pruebas en la superficie y memorizarlas (incluso perfectamente) no tiene valor, ya que nunca podrá ampliarlas si no siente por qué funciona y dónde no.

Reunir la intuición para poder expandir / explotar teoremas no tiene atajos. Falla, sentirse estúpido (opcional: D), hacer un seguimiento sistemático de la falla, luego tener los momentos eureka … así es como funciona. Por cierto, la mayoría de mis amigos matemáticos confirmaron que no hay día en que no se sientan estúpidos. Supongo que sentirse estúpido es un requisito previo para hacer buenas matemáticas: D.

Lo más probable es que sea un camino largo, pero viendo tu motivación (voluntad de hacer un doctorado), diría que definitivamente vale la pena. Los momentos eureka, cuando realmente entiendes un teorema, son divinos. Después de muchos meses / años / décadas de sudor y trabajo duro, cuando tienes tu primera nueva prueba o teorema, esa sensación es indescriptible.

Con el tiempo, identificarán ustedes mismos los puntos principales y las pruebas les llegarán de forma natural e intuitiva (lo he experimentado). También manténgase al tanto de la parte de la aplicación de manera relajada pero regular. Vea dónde se han aplicado los teoremas. Eso te da una amplitud que podría usarse en algún momento más adelante y también mantendrá viva la motivación.

Quieres un doctorado.

Bueno, cualquier cosa que valga la pena, vale la pena hacerlo bien.

A largo plazo, querrás poder probar cosas nuevas. Como investigador, querrás probar cosas útiles y extender el alcance y la comprensión de los seres humanos a nuevas áreas. Como instructor, desea poder dirigir sus clases a través de ese mismo desierto y perder la menor cantidad posible de ellos.

Nadie sabe realmente qué herramientas, técnicas o trucos furtivos necesitarás para hacer todo eso.

Entonces, estás mirando cosas viejas, haciendo casi exactamente lo que quieres hacer, con un poco de red de seguridad. Estás aspirando a llegar a un punto en el que no necesites la red de seguridad. De alguna manera, tienes que absorber tantas herramientas, técnicas o trucos furtivos como sea posible.

1. ¿Necesitas demostrar absolutamente todo lo que te encuentras, independientemente?
2. ¿Evaluar la utilidad de todos y cada uno de los elementos del gran esquema?
3. ¿Encuentra la manera óptima de presentar el material a otros?

No, no y no. Nadie realmente espera eso.

Si se queda atascado, use la red de seguridad.

Está el libro en sí (organizado para poner a su disposición las viejas técnicas y los trucos aceptados). Existen los vastos recursos de Internet. Luego, generalmente hay un profesor, una persona más o menos capacitada con quien puedes conversar.

Lo que se espera que hagas:

1. Presente una prueba diferente de vez en cuando.
2. Piense lo suficientemente crítico para que, ocasionalmente, pueda sugerir otras mejoras en lo que ve y, cuando sea apropiado, debatir las ideas con su profesor.
3. Explique parte del material a sus compañeros.

¡Buena suerte!

A2A; No. Pero es necesario que comprenda a fondo el enunciado de cada teorema y la prueba que se proporciona en la medida en que pueda reconstruirlos por su cuenta sin referencia al libro (e incluso nuevamente unos días después).