[matemáticas] S = 1 (1 \ veces 2) +2 (2 \ veces 3) + \ puntos + n (n (n + 1)) [/ matemáticas] es lo mismo que decir [matemáticas] \ suma _ {k = 1} ^ {n} {k (k (k + 1))} [/ math].
Esto se puede simplificar multiplicando los corchetes por [math] \ sum _ {k = 1} ^ {n} {{k} ^ {3} + {k} ^ {2}} [/ math].
Usando las fórmulas para las sumas de [matemática] {n} ^ {3} [/ matemática] y [matemática] {n} ^ {2} [/ matemática], esto puede ser igual a [matemática] \ frac {1} {4} {n} ^ {2} {(n + 1)} ^ {2} + \ frac {1} {6} n (n + 1) (2n + 1) [/ matemáticas].
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Sacando un factor de [matemáticas] \ frac {1} {12} n (n + 1) [/ matemáticas], esto se convierte en [matemáticas] \ frac {1} {12} n (n + 1) (3 {n } {(n + 1)} +2 (2n + 1)) [/ math].
Multiplicando los corchetes dentro, esto se convierte en [matemáticas] \ frac {1} {12} n (n + 1) (3 {n} ^ {2} + 7n + 2) [/ matemáticas].
Los factores cuadráticos entonces son [matemática] \ frac {1} {12} n (n + 1) (n + 2) (3n + 1) [/ matemática]
