Si eligiera un número al azar en la recta numérica, ¿tendría mayores posibilidades de ser racional o irracional?

Mirando ingenuamente la distribución de los números, la probabilidad de elegir un número irracional es 1 (uno), la probabilidad de elegir un número racional es cero (porque hay innumerables muchos irracionales pero solo muchos racionales, por lo que los racionales forman un conjunto de “medida cero”).

Sin embargo, si toma la palabra “elegir” más en serio, “elegir” un número significa dar un algoritmo exacto que identifica el número con precisión arbitraria (por ejemplo, escribiendo “1.4711”, o escribiendo “1/7”, o definiendo pi como el límite de una serie infinita). De esa manera, la mayor parte de los números reales (aquellos que hicieron la probabilidad de elegir un cero racional) no serían seleccionables. Para calcular las probabilidades entre los números restantes, tendría que definir el idioma en el que se deben formar los algoritmos y el proceso de cómo elegir un algoritmo. Pero entonces, esta elección de un algoritmo es algo un poco alejado de la idea de “elegir un punto de una línea”.

Varias respuestas señalan el hecho de que depende del método de selección de números aleatorios.

Sin embargo, es imposible crear un procedimiento que permita a una persona o máquina elegir aleatoriamente un número de todo el conjunto de números reales. Ni siquiera podemos elegir al azar de todo el conjunto de los naturales.

Cualquier procedimiento práctico tendrá un número finito de pasos y cualquier medición tendrá una precisión finita, así que no importa qué método utilicemos.
De acuerdo, solo habrá un número finito de opciones posibles.

El número de opciones puede ser muy grande. Por ejemplo, podemos hacer que una computadora asigne “aleatoriamente” cada bit en un disco de 1 Terabyte a 0 o 1, y habremos producido un número entero en el rango de 0 a 2 ^ (2 ^ 43) -1.

Eso es lo suficientemente grande como para servir a casi cualquier propósito práctico que el hombre pueda tener para usar un número aleatorio, pero no es una verdadera selección aleatoria de todo el conjunto de números naturales. 2 ^ (2 ^ 50) falta en los posibles resultados de ese método en particular.

Si mágicamente tuviéramos una manera de elegir un número verdaderamente aleatorio de todo el conjunto de los reales, entonces, como dijo Joachim Pense, la probabilidad de que sea irracional es 1, porque los racionales son contables y los irracionales son incontables.

De hecho, la probabilidad de que el número sea incuestionable es 1.

Pero además, la probabilidad de que el número de dígitos del entero más cercano sea codificable, en cualquier esquema de codificación imaginable, con toda la materia en el universo, sería cero.

Si selecciona un número uniformemente al azar de cualquier intervalo compacto en la línea real, digamos [0, 1] , entonces la probabilidad de obtener un número racional es cero y la probabilidad de obtener un número irracional es uno.

Desafortunadamente, no puede poner una distribución uniforme en toda la línea real. Tal distribución de probabilidad simplemente no existe. El problema es que la línea es infinitamente larga, por lo que si hubiera alguna probabilidad distinta de cero de elegir un número entre, digamos, 1 y 2, entonces habría la misma probabilidad de elegir un número entre 2 y 3, y así sucesivamente, y una vez que hayas agregado todas estas cosas, sumarían al infinito, no a 1. Por lo tanto, no podemos hablar de un número seleccionado de manera uniforme al azar de toda la línea real.

Aún así, puede colocar algún tipo de distribución de probabilidad en la línea real, siempre que esté de acuerdo con que ciertos rangos de números sean más propensos que otros. Si toma una distribución continua en toda la línea real (por ejemplo, una curva de campana), la probabilidad de seleccionar un número racional al azar sería cero y la probabilidad de seleccionar un número irracional sería uno.

De hecho, podemos decir mucho más: la única forma de obtener una probabilidad positiva de seleccionar un número racional sería tener una masa puntual concentrada en algún número racional en particular. Esto es una consecuencia del axioma de aditividad contable en la definición de una medida de probabilidad: si la probabilidad de seleccionar cualquier número racional dado es cero, entonces la probabilidad de seleccionar un número racional es cero, ya que solo hay muchos contables números.

Entonces, si bien es posible tener una distribución de probabilidad en la línea real que le brinde una posibilidad positiva de elegir un número racional, la única forma de hacerlo es manipular deliberadamente la distribución para hacerlo.

Respuesta: depende .

En lo que pides? Permíteme elaborar.

Comencemos con un ejemplo más simple:

La probabilidad de decir un punto que se encuentra en el intervalo [0,1] pero no en el intervalo [0,0.5] es 0.5. ¿Pero cómo llegamos a ese número? Bueno, comparamos los ‘tamaños’ relativos de los 2 intervalos. [0,1] tiene una longitud (medida de Lebesgue ) de 1 y [0,0.5] tiene 0.5.

También hacemos cosas similares para formas de dimensiones superiores. Por ejemplo, la probabilidad de que un punto dentro de un círculo también se encuentre en el cuadrado inscrito es la razón de las áreas = 2 / pi (suponiendo que el radio del círculo = 1, A (círculo) = pi y A (cuadrado) = [matemáticas] \ sqrt {2} [/ math]. Este hecho se utiliza en una simulación fácil de Monte Carlo para aproximar el valor de pi (la aguja de Buffon).

Llegando a la pregunta específica. La medida de Lebesgue de los irracionales es la misma que la medida de Lebesgue de todo el intervalo real. Esto se debe a que sobre cualquier intervalo sobre la línea real, hay números irracionales infinitamente contables y racionales infinitamente contables. En cierto sentido, hay muchos más irracionales que racionales.

Sea I cualquier (intervalo no vacío con al menos 2 puntos), y L sea la medida de Lebesgue, entonces lo que esto significa es que L (racionales en I) = 0 y L (irracionales en I) = L (I). ¡Esto dice que el tamaño del subconjunto de racionales en un intervalo es 0 y el tamaño del subconjunto que contiene todos los irracionales de ese conjunto es el mismo que el tamaño del intervalo!

Entonces, siguiendo nuestra noción de probabilidad específica de ‘tamaño’, P (eligiendo irracional) = L (irracionales en I) / L (I) = 1. Esto se llama ‘casi seguro’ en matemáticas.

Nota: ¡Esto también significa que nunca podremos elegir un número racional!

Sin embargo, una simulación por computadora te decepcionará. Esto se debe a que un número se almacena en las computadoras como un número de punto flotante. Todos los números de coma flotante son números racionales. Por lo tanto, cualquier número ingresado calculado por una computadora siempre es un número racional, ya que nunca puede mostrarnos un número infinito de dígitos necesarios para representar completamente un número irracional. En este caso, P (racional) = 1 y P (irracional) = 0 como computadora solo funciona con números racionales.

Diría que es más probable que sea irracional. Digamos que tiene un número como 0.424242424242 … Tendremos que dividir un número por otro para obtener este número. Después de obtener 0.4, hay 1/10 de probabilidad de obtener 2 pero 9/10 de probabilidad de obtener algún otro número. Del mismo modo, si seguimos sumando todas las probabilidades, encontraremos que la probabilidad de obtener 4 y 2 repetidamente es muy menor en comparación con la obtención de algún otro número.

Para más información, vea la teoría de conjuntos elemental: explicación intuitiva de cómo podría haber “más” números irracionales que racionales. – Intercambio de pila de matemáticas .

Georg Cantor demostró que los números irracionales no solo son más comunes que los racionales, sino que son infinitamente más comunes.

Los racionales son infinitamente contables, los irracionales no son contables. Escribí más sobre esta prueba de Cantor