¿Por qué la gente cree que todos los teoremas sobre las máquinas de Turing son válidos cuando se habla de una computadora?

No son realmente válidos para su computadora, y no están destinados a ser utilizados de esa manera.

Las máquinas de Turing (TM) son los objetos matemáticos centrales en el estudio de la informática teórica. Son bastante simples en comparación con su computadora portátil o teléfono, lo cual es parte de la razón por la cual las personas los usan, pero debido a que tienen un espacio infinito, son un poco poco realistas (como menciona OP). Para lo que sirve la TM es para comprender diferentes aspectos de la computación, como si algo es computable o no (capacidad de decisión / computabilidad), o cuánto tiempo puede tomar un determinado algoritmo (teoría de la complejidad) y si puede hacerlo mejor que algún algoritmo incluso en teoría.

Los TM son buenos para decir algunas cosas generales que harán mucho más fácil el análisis matemático de la computación, pero porque son tan generales que a veces no son tan útiles en la práctica. En cambio, las personas usan circuitos booleanos, pero esos no son equivalentes a las TM (el conjunto de funciones que los circuitos (finitos) pueden calcular es limitado, a diferencia de las TM que pueden calcular todas las funciones computables).

Los circuitos son mucho más fáciles de entender y simular, pero eso no significa que los TM no tengan ningún valor práctico. Un buen ejemplo es el teorema de Cook-Levin, que dice que la satisfacción es NP-completa. Saber que un problema es NP-completo es bueno saberlo a veces, porque si puede reducir su algoritmo a satisfacción, esto significa que no puede encontrar un algoritmo que siempre resuelva su problema de manera eficiente (vale la pena señalar que esto no aplicar a instancias de problemas particulares, que pueden resolverse fácilmente, otra forma en que es un resultado más general).

Dado que tenemos estos modelos diferentes, podemos cambiar a cada uno porque tienen fortalezas y debilidades obvias. Entonces, su pregunta técnicamente tiene una premisa defectuosa, porque nadie se atiene completamente al modelo de Turing cuando piensa en todas las computadoras.

Aquí hay una versión más precisa del argumento de por qué las computadoras modernas y las máquinas de Turing están lo suficientemente cerca en términos de potencia computacional.

La frase clave es infinito potencial.

Las máquinas de Turing no necesitan una cinta que sea realmente infinita. En cualquier momento durante cualquier cálculo de una máquina Turing, la parte utilizada de la cinta es finita. Esto también es cierto para las construcciones que menciona, como “TM A simula TM B en todas las entradas posibles en paralelo”.

Para obtener su poder computacional, las máquinas de Turing necesitan solo el potencial: siempre hay una próxima celda de la cinta, siempre hay más memoria disponible en caso de que necesite usarla.

Y podemos ver las computadoras modernas de la misma manera. Su memoria está lo suficientemente cerca como para ser potencialmente infinita. Puede “siempre” comprar otro disco duro USB y enchufarlo, si necesita más memoria para el cálculo que está intentando realizar. (O agregue una máquina más a su nube / almacén, si lo prefiere).

Este punto de vista solo tiene más sentido. Considerar que su computadora es una caja bloqueada que contiene una máquina de estados finitos con billones de estados no le dirá nada útil sobre lo que puede y no puede calcular.

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