Una puerta controlada [matemática] T [/ matemática] toma dos qubits como entrada, es decir, actúa sobre el producto tensorial de dos espacios qubit únicos. Si el primer qubit está en cierto estado [math] | \ psi_a \ rangle [/ math], la puerta controlada realiza una determinada operación [math] T_a [/ math] en el segundo qubit, mientras que si el primer qubit está en un estado diferente [math] \ psi_b [/ math] ortogonal a [math] \ psi_a [/ math], realiza la operación [math] T_ {b} [/ math] en el segundo qubit. La ortogonalidad de [math] | \ psi_a \ rangle [/ math] y [math] | \ psi_b \ rangle [/ math] es necesaria para garantizar que [math] T [/ math] sea unitaria. Escrito explícitamente, [math] T [/ math] viene dado por
[matemáticas] T = | \ psi_a \ rangle \ langle \ psi_a | \ otimes T_a + | \ psi_b \ rangle \ langle \ psi_b | \ otimes T_b. [/ math]
Puede parecer que no hay una opción canónica para [matemática] | \ psi_b \ rangle [/ matemática] dado el qubit de control [matemática] | \ psi_a \ rangle [/ matemática] ya que siempre puede agregar un factor de fase adicional [matemática ] e ^ {i \ phi} [/ math] en la mezcla. Pero el factor de fase adicional se cancela ya que tenemos
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[matemáticas] e ^ {i \ phi} | \ psi_b \ rangle \ langle \ psi_b | e ^ {- i \ phi} = | \ psi_b \ rangle \ langle \ psi_b |. [/ math]
