Hay dos enfoques para esta pregunta: ¿Cómo se puede explicar la teoría del tetralemma hindú (Catuskoti budista) de una manera comprensible?
Primero, la forma más o menos “comprensible”:
El método tradicional de Catuskoti (Tetralemma) no es matemático, y es para todos los efectos lingüísticos y conceptuales.
A menudo se dice que el Catuskoti consiste en los dos valores de verdad absoluta de Falso y Verdadero, con dos parientes: ni verdadero ni falso, y tanto verdadero como falso. Sin embargo, estos dos relativos no son constantes, ya que esto formaría una contradicción / paradoja. Entonces, uno tiene que adaptar un poco su percepción para que “verdadero y falso” no sea una contradicción, y ni verdadero ni falso no sea una tautología.
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Una forma de hacer esto es estar más atento a los valores relativos y concebir los absolutos como extensiones de estos, en lugar de al revés. Esto será más fácil cuando veamos las matemáticas. Por ahora, este diagrama de Venn puede ser útil para ilustrar la noción convencional detrás de estos valores de verdad.
Si prestas atención a todas tus percepciones, las externas, las internas …, no tendrás problemas para notar que no todo puede clasificarse rígidamente como verdadero o falso. De hecho, puede notar cosas que no son ni cosas que exhiben verdadero algunas veces y falso otras veces. Sin embargo, tomando estos otros dos, ¿puede uno mirar todas las percepciones y decir que hay algo que no puede ser representado por ninguno de estos cuatro? El Buda dijo: “Es mejor creer en un yo tan grande como el monte Sumeru que asumir la visión del vacío”.
El Catuskoti es un método que emplea una lógica no booleana. Por lo tanto, mucho de lo que nos gustaría saber es realmente sobre la lógica detrás del Catuskoti en lugar de cómo se ha utilizado el Catuskoti. De hecho, el estudio de las matemáticas / lógica es altamente informativo en formas en que solo el estudio de cientos de textos comenzará a insinuar. Estos textos religiosos no se centran en explicar la lógica de los Catuskoti, sino que lo toman como un axioma. Si bien el estudio de estos textos puede no ilustrar claramente qué es el Catuskoti y cómo emplearlo más, son útiles al revelar las aplicaciones del Catuskoti en lo que respecta a nuestras experiencias directas. Es decir, la teoría del Tetralemma hindú tiene como objetivo hacer que la percepción de los valores de verdad no duales sea tan intuitiva como la percepción de los valores de verdad duales. Así como uno no diría ‘todo es verdad’, ni ‘= dirían’ todo es falso ‘, tampoco dirían’ todo es verdadero y falso ‘, ni’ todo no es ni verdadero ni falso ‘.
El rechazo de los cuatro valores de verdad es un uso muy fundamental de Catuskoti. Por ejemplo, se le pregunta al Buda qué le sucede a un arhat después de la muerte: ¿existe el arhat, el arhat NO existe, el arhat existe y no existe, el arhat no existe ni existe? Las cuatro posibilidades son rechazadas; esto es más informativo de la naturaleza del ser que del Catuskoti mismo.
Historia de la lógica
No fue sino hasta alrededor del siglo XIX que se desarrolló la lógica matemática, y desde la década de 1950 se han desarrollado muchas lógicas. Entonces, realmente no hay mucha lógica formal o lógica matemática escrita en el catuskoti / tetralemma. Cualquier lógica para el catuskoti tendrá completamente dentro de sí la lógica del predicado.
La matemática: la explicación completa:
Cuando uno extiende el espacio de la verdad para incluir más valores de verdad, los grados de libertad aumentan, y el concepto de negación cambia ligeramente. El espacio de verdad se llamará Catuskoti, que está representado por el grupo klein de orden 4, aunque usaremos una notación grupal similar al producto cartesiano de dos álgebras booleanas. Los elementos del espacio de verdad son los valores de verdad: verdadero = 1, falso = 0, verdadero y falso = y, y ni verdadero ni falso = x.
El Catuskoti se puede representar mediante un cuadrado, donde los vértices son los valores de verdad y los valores de verdad opuestos están en las esquinas opuestas. El origen es igual a 0, (1,0) = x, (0,1) = y, y (1,1) = 1. Así como la lógica booleana usa la suma mod 2, Catuskoti usa la suma mod 2. Por lo tanto, x + y = 1, 1 + x = y.
Una geometría algebraica para el catuskoti usa matriz cuadrada como objetos. Una matriz 2 × 2 puede representar el Catuskoti asignando un valor de verdad a cada entrada. Hacer que la orientación estándar sea similar a las coordenadas cartesianas facilita mucho el cálculo. Esta es la orientación estándar:
¿Qué es la negación?
Resulta que la negación es equivalente a una simetría de la realización geométrica del espacio de verdad. Por lo tanto, hay 8 negaciones, incluida la negación trivial. Cuatro de las negaciones son valores de verdad, y corresponden a la suma de un valor de verdad con el espacio, y las otras cuatro son un poco abstractas. En general, un objeto que representa la simetría se puede construir formando geométricamente la simetría de la orientación estándar y sumando la orientación estándar con la simetría del espacio, esto deja un objeto que actúa como negación. Así como el espacio de verdad tiene cuatro entradas, la negación tendrá cuatro entradas, una para cada estado de verdad. Las negaciones también se pueden clasificar de otra manera: hay cuatro reflexiones y cuatro rotaciones. El conjunto de reflexiones puede generar todo el grupo de simetría, mientras que las rotaciones no. (nota V_4 es el Catuskoti).
La suma de un objeto que representa una simetría con una proposición forma una negación disyuntiva, y el producto de una proposición y una simetría forma una negación conjuntiva. En lógica booleana, estos dos son similares. Es decir, 1 * (cualquier cosa) = cualquier cosa = cualquier cosa + 0. 0 * (cualquier cosa) = 0 = cualquier cosa + cualquier cosa. Mientras que con los Catuskoti estos son bastante distintos.
Las negaciones disyuntivas forman simetrías del espacio, por lo tanto, las otras 7 simetrías estándar son:
La notación que usa es la representación de ruta, un método para escribir ciertos objetos por una sola ruta. Es útil para la codificación.
Conectivos:
Todos los conectivos como “y”, “o”, “si … entonces”, “si y solo si”, son los mismos que usamos también, excepto que necesitamos dar cuenta de los otros valores de verdad. Todos los conectivos se pueden formar usando la suma (disyunción exclusiva) y la multiplicación (conjunción). Por lo tanto, así como la disyunción inclusiva se puede formar por la disyunción exclusiva de una oración disyuntiva y conjuntiva en la lógica booleana, lo mismo se puede hacer con Catuskoti. Así como No A o B es igual a Si A, entonces B en lógica booleana, lo mismo ocurre con Catuskoti. Así como (si A, entonces B) y (si B, entonces A) es igual a A si y solo si B, lo mismo ocurre con el Catuskoti.
Por lo tanto, lo único interesante es que hay más estados de verdad y hay más negaciones.
Un resultado interesante de esto es que con Catuskoti se puede representar una proposición mediante una combinación no trivial del espacio de verdad y la simetría. Por no trivial eso significa nada escrito como: p = p, o p = p * p, o p = 1 * p, o p = p + 0, etc. Por ejemplo, cualquier p = np + (n + 1) P . n + 1 es lo opuesto a n, entonces si n es 0, entonces n + 1 es 1. Sin embargo, si n = x, entonces p = xp + yp, de modo que tanto xp como yp son significativos.
La formación de conectivos de proposiciones forma una matriz recursiva. (observe la simetría / conmutatividad de +, * y el bi-condicional).
En lógica booleana, la negación de una frase conjuntiva (no (A&B)) es igual a la disyunción inclusiva del opuesto de cada proposición: eso no es (A&B) = notA o notB. Del mismo modo, Not (A o B) = notA y notB. Sin embargo, con el Catuskoti, ¿qué sucede cuando uno usa una negación no booleana, por ejemplo, qué no es tanto verdadero como falso (A&B) igual a usar una disyunción inclusiva?
La negación de una frase conjuntiva es igual a la negación disyuntiva (usando el tipo opuesto de negación) de la disyunción inclusiva del opuesto de los dos conjuntos.
De vuelta a la filosofía:
A veces hay una diferencia entre decir “No es n (una negación) que P” y decir “P es m”, dado m = opuesto a n. Esto se debe a que el primer método es una negación disyuntiva, mientras que el segundo método es una negación conjuntiva. Considere “P es verdadero”, esta es una negación conjuntiva S = 1 * P = P. Esto es lo mismo que decir “No es falso que P”, esta es una negación disyuntiva S = P + 0 = P. Sin embargo, considere n = x. Entonces P + x no es igual a y * P. Este resultado no se conoce bien, y desafortunadamente es una fuente de mala traducción. De mis propios estudios, creo que el Buda usa principalmente negaciones disyuntivas y evita usar negaciones conjuntivas. Es decir, el Buda evita afirmar que algo es, más bien afirma que algo no es así. En lugar del apego a concebir el Devenir, el Buda reconoce las cosas como impermanentes y sujetas a cesación, de ahí el uso de “no tal (n) que P”.
Debido a la naturaleza de las descomposiciones, puede ser que no haya proposiciones independientes que uno pueda hacer. Es decir, en la filosofía hindú hay concepciones de absolutos, o incluso se supone que los Vedas son absolutamente ciertos (aunque no en el budismo). Sin embargo, estos absolutos se pueden escribir como el producto o la suma de dos objetos no triviales. Si de manera abstracta fueran ellos, ¿qué implicaría esto acerca de “Dios”, “Atman” o los Vedas?
Veamos una aplicación de Catuskoti a la física. Un fotón puede exhibir un comportamiento de onda y partículas. Esto es el resultado del hecho de que el fotón cuando se representa como una proposición puede descomponerse en objetos no triviales. Estos dos objetos forman las propiedades del fotón.
El ejemplo del fotón es similar a “Atman” o realmente cualquier otro “Dharma” concebido.
Otra consecuencia del Catuskoti es la teoría de la probabilidad, particularmente en las distribuciones de Bernoulli. Específicamente, si se sabe que la distribución de probabilidad se forma en el Catuskoti y se conoce el valor esperado, no se puede determinar con certeza la función exacta de densidad de probabilidad. De hecho, resulta que a menudo hay un número infinito de funciones de densidad de probabilidad que exhiben ese valor esperado.
