Los modos permitidos en una cavidad de radiación son las soluciones de la ecuación de onda que obedecen a la condición límite de que el campo eléctrico / magnético es cero en la pared. Si suponemos que la cavidad es un cubo con lados [matemática] L [/ matemática] (por simplicidad), podemos separar la ecuación de onda 3D en ecuaciones X, Y y Z. La solución para cada una de estas ecuaciones es una onda estacionaria sinusoidal con nodos en la pared. Las longitudes de onda permitidas en cada dirección están dadas por,
[matemáticas] \ lambda_i = 2L / n_i [/ matemáticas]
donde [math] n_i \ in \ N [/ math] y [math] i \ in \ {x, y, z \} [/ math].
Cada modo permitido está definido por un triplete [matemático] (n_x, n_y, n_z) [/ matemático]. El número de onda del modo es la suma vectorial de los componentes del número de onda en cada dirección.
[matemática] k = 2 \ pi (\ lambda_x ^ {- 2} + \ lambda_y ^ {- 2} + \ lambda_z ^ {- 2}) ^ {0.5} [/ matemática].
y la frecuencia es,
[matemáticas] \ nu = c (\ lambda_x ^ {- 2} + \ lambda_y ^ {- 2} + \ lambda_z ^ {- 2}) ^ {0.5} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ nu = \ frac {c} {2L} (n_x ^ 2 + n_y ^ 2 + n_z ^ 2) ^ {0.5} = \ frac {cn} {2L} [/ matemáticas]
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donde [matemáticas] n = (n_x ^ 2 + n_y ^ 2 + n_z ^ 2) ^ {0.5} [/ matemáticas].
Aquí, los puntos [matemática] (n_x, n_y, n_z) [/ matemática] forman una red uniforme en el octante positivo. Para un intervalo dado [matemática] [n, n + dn] [/ matemática], el número de puntos de la red que caen dentro del intervalo es proporcional al área de superficie, que viene dada por
[matemáticas] N (n) dn = 2 \ frac {1} {8} 4 \ pi n ^ 2 dn [/ matemáticas].
Aquí, el factor de 2 representa las dos polarizaciones de radiación y 1/8 representa el área de un octante.
En términos de frecuencia esto se convierte
[matemáticas] N (\ nu) d \ nu = \ pi (\ frac {2L \ nu} {c}) ^ 2 \ frac {2L} {c} d \ nu = \ frac {8 \ pi L ^ 3 \ nu ^ 2} {c ^ 3} d \ nu [/ matemáticas].
que es el número de modos con frecuencia en [matemática] [\ nu, \ nu + d \ nu] [/ matemática].
