Podemos escribir cualquier número entero positivo N como,
[math] c_0 \ times 10 ^ {1} + c_1 \ times 10 ^ {1} + c_2 \ times 10 ^ {2} + \ ldots [/ math], de modo que [math] 0 \ le c_i \ le 9 [ /mates]
Ahora considere que estamos agregando dos enteros [matemática] N_1 [/ matemática] y [matemática] N_2 [/ matemática].
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Deje, [matemáticas] N_1 = \ sum_ {i} c_i \ veces 10 ^ {i} [/ matemáticas] y [matemáticas] N_2 = \ sum_ {i} d_i \ veces 10 ^ {i} [/ matemáticas]
Entonces, [math] N_1 + N_2 = [/ math] [math] \ sum_ {i} \ left (c_i + d_i \ right) \ times 10 ^ {i} [/ math]
Ahora sabemos que [math] 0 \ le c_i \ le 9 [/ math] y [math] 0 \ le d_i \ le 9 [/ math], entonces [math] 0 \ le \ left (c_i + d_i \ right) \ le 18 [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que [math] N_1 + N_2 [/ math] es un entero positivo y los coeficientes [math] \ left (c_i + d_i \ right) [/ math] deben estar dentro del rango [math] \ left [0, 9 \ right ][/mates]
Ahora consideraremos que este coeficiente es mayor que 9
[math] \ Rightarrow [/ math] [math] \ left (c_i + d_i \ right) \ gt 9 [/ math]
[math] \ Rightarrow [/ math] [math] \ left (c_i + d_i \ right) = \ left (10 + \ phi \ right), \ 0 \ le \ phi \ le 8 [/ math]
Entonces el término correspondiente será,
[matemáticas] \ left (c_i + d_i \ right) \ times 10 ^ {i} [/ math]
[math] \ Rightarrow [/ math] [math] \ left (10 + \ phi \ right) \ times 10 ^ {i} [/ math]
[math] \ Rightarrow [/ math] [math] 1 \ times 10 ^ {i + 1} + \ phi \ times 10 ^ {i} [/ math]
Tenga en cuenta que cuando el coeficiente es mayor que 9, está incrementando 1 a su próximo término más alto ( el carry ).
