¿Cuál es la diferencia entre notación matemática y notación de programación? ¿Por qué usar uno sobre el otro? ¿Por qué no solo usar siempre la programación?

Sirven para diferentes propósitos.
En matemáticas, generalmente solo se trata de algunas variables a la vez; una sola letra se puede usar convenientemente como un identificador para cada uno. En programación, muchas, muchas variables tienden a ser de interés; Se necesitan identificadores más largos. Los primeros programas fueron escritos por personas con antecedentes matemáticos, por lo que los identificadores eran cortos: un límite de 8 caracteres era común. Poco a poco, la conveniencia de los identificadores con más nombres mnemotécnicos se hizo evidente: cuando dejé 63 caracteres era común, aunque la mayoría de los programadores se dieron un límite de 8 caracteres amnemónicos.
La interfaz de la notación matemática es con humanos, que son muy flexibles. La interfaz de la notación de programación es con máquinas que son inflexibles.

La mayor diferencia obvia es que la notación de programación debe expresarse en texto de línea por línea. Esto es parcialmente histórico y era todo lo que estaba disponible en los primeros sistemas basados ​​en terminales. Esto significa que no puede usar una sintaxis matemática como [math] x ^ 2 [/ math]. Cuando se desarrolló la notación matemática, se escribió o se escribió a mano, por lo que se utiliza subíndice, superíndices, fracción grande y raíz cuadrada como [matemática] \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} [ / matemáticas] fue fácil.

¿Por qué los matemáticos no cambian a la notación de programación? Hay poco que ganar, es más detallado y no es familiar para muchos matemáticos.

Una diferencia es que en matemáticas, solo obtienes 1 letra para representar cualquier variable, lo que hace que todo sea visualmente más pequeño y más elegante. Un problema con esto es que solo hay unas cuantas letras griegas, y su uso típico de theta y mi uso típico de theta podría ser completamente diferente si venimos de diferentes campos. Entonces, para que yo pueda leer tus matemáticas, necesito toda tu historia de fondo para seguirlas.