Un ejemplo que viene a la mente son las oscilaciones de una onda estacionaria. Esto ocurre cuando tienes una cuerda vibrante fijada en ambos extremos. Puedes imaginar una cuerda en una guitarra si quieres. Ahora consideremos las vibraciones permitidas de esta cuerda. Es útil pensar en estas vibraciones como ondas, con frecuencia [matemática] \ nu [/ matemática] y longitud de onda [matemática] \ lambda, [/ matemática] relacionada por [matemática] \ nu = v [/ matemática] / [matemática ] \ lambda [/ math], [math] v [/ math] es la velocidad de propagación de la onda y será una constante para una cadena dada. Recuerde que la longitud de onda se define como la longitud de un ciclo completo, o la longitud desde un pico hasta el siguiente pico sucesivo. Por supuesto, entre dos picos habrá un canal. Por lo tanto, cada ciclo contiene dos nodos. Si trazamos el ciclo de manera que el eje [matemático] x [/ matemático] se encuentre exactamente a la mitad entre el pico y el valle, un nodo será un punto en el que la onda cruce el eje [matemático] x [/ matemático] . Como los extremos son fijos, no pueden moverse hacia arriba o hacia abajo, por lo que coinciden con los nodos. Por lo tanto, una onda estacionaria solo puede soportar ondas (o vibraciones) de modo que la longitud [matemática] L [/ matemática] de la cuerda sea precisamente un múltiplo de la mitad de la longitud de onda:
[matemáticas] L = n \ frac {\ lambda} {2} [/ matemáticas]
No se permiten otras vibraciones, por lo que esto resulta en frecuencias cuantificadas
[matemáticas] \ nu_n = n \ frac {1} {2L} [/ matemáticas]
Cuando [math] n = 1 [/ math], obtenemos la frecuencia fundamental [math] \ nu_1 [/ math] 0f de la cadena y nos referimos a los valores más altos de [math] n [/ math] como armónicos más altos (orden) . Este entero [math] n [/ math] podría considerarse como un número ‘cuántico’ para la cadena fija. Observe que [math] n [/ math] cuenta el número de nodos de la cadena: el armónico [math] n [/ math] th tiene nodos [math] n-1 [/ math], por lo que podemos pensar en este número como caracterizando la vibración.
Típicamente, un electrón en un átomo de hidrógeno se describe por cuatro números cuánticos [matemática] n, l, m, s [/ matemática] donde [matemática] n [/ matemática] es el número cuántico principal , [matemática] l [/ matemática ] es el número cuántico orbital, [matemática] m [/ matemática] es el número cuántico magnético y [matemática] s [/ matemática] es el número cuántico de rotación. Resulta que la estructura de un átomo es análoga a esta imagen de onda estacionaria en la cuerda de la guitarra en el sentido de que la función de onda del electrón también exhibe nodos. La función de onda para un electrón es un poco complicada, pero es más fácil pensar que consiste en el producto (es decir, factores) de funciones que dependen solo de la dirección radial [math] \ rho [/ math], o de una de las direcciones angulares [math] \ theta [/ math] y [math] \ phi [/ math], donde el primer ángulo es el ángulo polar (rotaciones en el plano [math] xy [/ math]) y el último ángulo es el ángulo azimutal (rotaciones alejadas del eje [matemático] z [/ matemático]).
Ahora, el factor que depende solo de [math] \ rho [/ math] se conoce como la función radial [math] R_n (\ rho) [/ math]. Como sugiere la notación, se caracteriza por el número cuántico principal [matemática] n [/ matemática]. Curiosamente, el número de nodos en [matemática] R_n (\ rho) [/ matemática] determina el nivel de energía del electrón. De hecho, el número de nodos en la función de onda radial con el número cuántico principal [matemática] n [/ matemática] es [matemática] n-1 [/ matemática]. La energía correspondiente está dada por la ecuación
[matemáticas] E_n = – \ frac {\ mathbb {R}} {n ^ 2} [/ matemáticas]
donde [math] \ mathbb {R} [/ math] es la constante de Rydberg. Entonces excitas el electrón a un ‘armónico’ más alto, agregando otro nodo y, a su vez, aumentando el número cuántico principal [matemática] n [/ matemática] del electrón en exactamente uno. Por el contrario, promover (degradar) un electrón a un estado de energía más alto (más bajo) solo puede ocurrir agregando (eliminando) nodos en la función de onda radial. Nuevamente, dado que el número de nodos en una cadena está relacionado con la frecuencia y la frecuencia es proporcional a la energía, una cadena vibratoria con más nodos tendrá una energía más alta, por lo que la analogía aún contiene algo de agua. Sin embargo, la analogía con la onda estacionaria se rompe cuando considera la forma de la función de onda. La función de onda radial no es tan simétrica como una onda en una cuerda y matemáticamente dada por las funciones esféricas de Bessel, que son bastante diferentes a las funciones coseno o seno. Además, la función de onda no tiene un medio que esté vibrando. Su amplitud describe la probabilidad de encontrar el electrón en cada punto del espacio, donde la función coseno que modela la onda a lo largo de una cadena es completamente determinista.
También hay nodos a lo largo de las direcciones esféricas, que a menudo se consideran como una función combinada de ambas coordenadas angulares, llamadas armónicas esféricas. El nombre descriptivo de los armónicos sugiere correctamente que también hay nodos en estas funciones angulares. El número de nodos a lo largo del ángulo polar corresponde al número cuántico orbital [matemático] l [/ matemático] y el número de nodos a lo largo del ángulo azimutal corresponde al número cuántico magnético [matemático] m [/ matemático]. Estos números corresponden a la magnitud del momento angular orbital permitido del electrón y el componente [math] z [/ math] permitido del momento angular orbital, ambos cuantificados. Estos dos números están relacionados en el sentido de que [matemáticas] l \ geq \ vert m \ vert [/ matemáticas]. Heurísticamente, esto tiene sentido ya que la magnitud del momento angular no puede ser menor que el valor absoluto de uno de sus componentes.
Para recapitular, puede usar la onda estacionaria a lo largo de una cadena para tener una idea de cómo la cuantización de un sistema físico es una noción razonable. En este punto, es de esperar que ahora comprenda que los números cuánticos caracterizan los atributos físicos del estado cuántico de una partícula. Una observación adicional es que típicamente estamos interesados en un conjunto de números cuánticos ‘buenos’ para caracterizar un estado cuántico. Los números cuánticos se consideran buenos cuando la medición de un número no afecta la medición de otro. Resulta que [matemáticas] n, l, m, s [/ matemáticas] es un conjunto de buenos números cuánticos. Un ejemplo de un par de mediciones que no podrían constituir buenos números cuánticos sería el componente [matemático] x [/ matemático] y el componente [matemático] z [/ matemático] del momento angular de un electrón en un átomo de hidrógeno. Si mide el primero obtendrá un buen resultado, en el sentido de que cualquier medición posterior del componente [math] x [/ math] le dará la misma respuesta. Sin embargo, una medición del componente [matemático] z [/ matemático] hará que la medición del componente [matemático] x [/ matemático] sea completamente sin sentido, en el sentido de que una medición posterior del [matemático] x [/ componente matemático] podría ser completamente diferente a la primera medición de componente [matemático] x [/ matemático]. Tal es la naturaleza de medir componentes del momento angular de un objeto cuántico.
Desafortunadamente, spin is no tiene ningún análogo clásico que yo sepa. Es un fenómeno completamente cuántico que obedece a reglas matemáticas al igual que el momento angular orbital. Sin embargo, todavía podemos pensar que el número cuántico de espín caracteriza una propiedad física del electrón (llamada espín), tal como el número cuántico principal caracteriza la energía.
