Puedes comenzar desde la mecánica clásica.
Imagine que tenemos un sistema representado por el siguiente diagrama de fase, que va de un punto a otro. El estado del sistema [matemática] f (x, p; t) [/ matemática] en algún momento está determinado por los puntos azules.
(disculpa mi horrible dibujo)
- ¿Se pueden superponer las frecuencias de microondas y ópticas entre sí para obtener un radar cuántico?
- ¿Son los humanos más inteligentes que las computadoras cuánticas?
- ¿Qué es la estructura 1D?
- ¿Hay un buen ejemplo / algoritmo que explique cómo funcionan las computadoras cuánticas?
- ¿Cuál es el significado de los estados coherentes en la óptica cuántica?
Si tuviéramos cierta incertidumbre sobre los puntos de inicio y final, reemplazaríamos [matemática] f [/ matemática] con una función de densidad de probabilidad [matemática] \ rho (x, p; t) [/ matemática]. Luego, los puntos se convierten en distribuciones alrededor de un punto (ignore el hecho de que el camino todavía se ve completamente determinado).
Observe la forma de [math] \ rho [/ math], que sería una combinación lineal de, por ejemplo, dos distribuciones gaussianas en las variables de posición y momento. Si tiene curiosidad, la ecuación dinámica se ve como [math] \ frac {\ partial \ rho} {\ partial t} = \ {H, \ rho \} [/ math] (las llaves significan el soporte de Poisson, especialmente debe Mire la respuesta de Michael Betancourt a esa pregunta mientras explica la imagen geométrica que motiva esta ecuación).
Pero si estamos hablando de partículas cuánticas, no hay forma de que puedas poner puntos únicos, siempre hay una distribución debido al principio de incertidumbre de Heisenberg. Podrías imaginarlo como
(Espero que aún no te hayas arrancado los ojos)
donde el rojo denota solo la incertidumbre cuántica (NO tome esta imagen demasiado en serio, consulte [%] para obtener más explicaciones). Luego hacemos un quantum [math] \ rho [/ math], que se generaliza a un operador y se ve como
[matemáticas] \ hat {\ rho} = \ sum_i p_i | \ psi_i \ rangle \ langle \ psi_i |. [/ math]
Los coeficientes son números reales que denotan la incertidumbre clásica (que obviamente tiene que sumar uno, es decir, [matemática] \ text {Tr} [\ hat {\ rho}] = 1 [/ matemática]), y ya sabemos qué cantidad la incertidumbre se ve (está presente entre los grados de libertad que no conmutan). El producto externo de los kets realmente está actuando como los kets de estado normal con los que está familiarizado. Puede hacer álgebra lineal de esta manera donde las matrices pueden actuar como “vectores” de un espacio vectorial, por lo que no es nada nuevo.
Por lo tanto, tenemos una buena expresión para incluir tanto la incertidumbre cuántica (mediante nuestra elección de los elementos del proyector [matemática] | \ rangle \ langle | _i [/ matemática] en la definición anterior) como la incertidumbre clásica (la [matemática] p_i [/ matemática] ‘s). La ecuación dinámica para [math] \ hat {\ rho} [/ math] se ve así
[matemáticas] i \ hbar \ frac {\ partial \ hat {\ rho}} {\ partial t} = [H, \ rho] [/ matemáticas]
que es muy similar a la ecuación clásica mostrada anteriormente. Puede llegar a la ecuación de Schroedinger desde aquí asumiendo [math] \ hat {\ rho} = | \ phi \ rangle \ langle \ phi | [/ math], expandiendo el conmutador y luego multiplicando a la derecha con un ket [* ]
Un ejemplo rápido para dilucidar aún más el poder de las matrices de densidad. Tome el siguiente estado [#],
[matemáticas] | \ psi_ {AB} \ rangle = \ frac {1} {2} (| 0 0 \ rangle + | 1 1 \ rangle). [/ math]
En realidad, así es como se escribe generalmente, pero etiquetemos cada cosa para referirnos a las partículas individualmente.
[matemáticas] | \ psi_ {AB} \ rangle = \ frac {1} {2} (| 0_A 0_B \ rangle + | 1_A 1_B \ rangle). [/ math]
¿Cuál es el estado de la primera partícula ([matemática] A [/ matemática] th)? Puede decir que es simple, simplemente construya un operador de medición para el subespacio de la primera partícula. Pero la medición destruye la superposición, que no es realmente lo que queremos.
Tenga en cuenta que esta sería una pregunta trivial si [matemáticas] | \ psi_ {AB} \ rangle = | \ psi_A \ rangle \ otimes | \ psi_B \ rangle [/ matemáticas], es decir, si no se enredan, en cuyo caso usted solo diría [math] | \ psi_A \ rangle [/ math]. Pero este no es el caso, los estados enredados no son estados de producto y no pueden separarse de esa manera. La situación es la misma si pasamos al método del operador de densidad, ya que todavía tenemos
[matemáticas] \ rho_ {AB} = | \ psi_ {AB} \ rangle \ langle \ psi_ {AB} | \ neq \ rho_A \ otimes \ rho_B. [/mates]
Pero hay algo nuevo que podemos hacer, llamado rastro parcial. Si volvemos a pensar en la pregunta sobre el estado de la primera partícula, usar la traza parcial para responder sería
[matemáticas] \ rho_A = \ text {Tr} _B [\ rho_ {AB}]. [/ matemáticas]
Calcularlo para nuestro ejemplo anterior explícitamente debería hacerlo más claro.
[matemáticas] = \ sum_k \ langle k | \ rho_ {AB} | k \ rangle [/ math]
[matemáticas] = \ langle 0_B | \ rho_ {AB} | 0_B \ rangle + \ langle 1_B | \ rho_ {AB} | 1_B \ rangle [/ math]
[matemáticas] = \ frac {1} {2} \ big (| 0_A \ rangle \ langle 0_A | + | 1_A \ rangle \ langle 1_A | \ big) [/ math]
[matemáticas] = \ frac {1} {2}
\ begin {pmatrix}
1 y 0 \\
0 y 1
\ end {pmatrix}
[/mates]
En otras palabras, la primera partícula tiene una probabilidad de 50/50 de estar en el estado cero o uno (vea la nota al pie [#] si la notación es confusa). El rastreo parcial sobre el operador de densidad sirve para reducir nuestro conocimiento sobre lo que estamos rastreando, dejándonos con lo que nos importa. Esto puede ser bastante útil cuando no tenemos idea de cómo debería ser el estado de la otra partícula, que tampoco nos importaría de todos modos. En la información cuántica, generalmente tiene cálculos de tipo Alice & Bob donde ambos mantendrán un qubit de un par enredado. Cuando desee preguntar cuál es el estado de solo el qubit de Bob, es útil tener todo en forma de operador de densidad para que pueda hacer una operación simple y obtener lo que necesita. También es bueno para representar la incertidumbre de medición clásica para la investigación experimental, como la preparación del estado, por ejemplo, que puede ser bastante ruidosa y difícil (imagine pinchar electrones a la perfección …) o aplicar operaciones de qubit con un láser o algo así, donde la incertidumbre es en cuánto se rotó realmente el vector de estado en alguna dirección.
[%] El rojo y el azul son realmente dos distribuciones. El rojo muestra la incertidumbre cuántica, por ejemplo, para el ancho de una función de onda gaussiana. El azul podría interpretarse como el ruido clásico, o como la combinación de la incertidumbre clásica y cuántica. Imaginar una proyección 1D lo hace más fácil, pero no más fotos porque desafortunadamente ya he cerrado mi programa de pintura.
[*] Este argumento es un poco al revés, en cierto sentido, porque debes asumir la ecuación de Schroedinger en primer lugar. También podría pensar que la mecánica cuántica podría haberse inventado mirando primero esta imagen clásica del espacio de fases, reemplazando el soporte de Poisson con el conmutador y agregando algunas cosas adicionales (i y hbar) para estar de acuerdo con los experimentos. Tipos similares de equitación nos dieron la ecuación de Schroedinger.
[#] La notación utilizada es de la literatura de computación cuántica, donde [matemática] | 0 \ rangle [/ math] significa [matemática] (1, 0) ^ T [/ math] y [math] | 1 \ rangle [/ math] significa [math] (0, 1) ^ T [/ math], y representan qubits. Luego, con dos qubits [entrelazados] tendría cuatro estados diferentes que representan cada combinación posible de bits. Físicamente, podrían representar el giro hacia arriba o hacia abajo de un electrón en la base de giro-z. Si te hace sentir mejor, imagina que se ven como [math] | \ uparrow \ downarrow \ rangle [/ math], asignando hasta cero y hasta uno.
