¿Cuál es la diferencia entre una cubierta abierta y una subcubierta finita en relación con la compacidad?

Una subcubierta de una cubierta abierta, ya sea finita o no, es una cubierta abierta. Una subcubierta no es un tipo de objeto separado como una submartingala (que no necesita ser una martingala), es más como un subconjunto, que sigue siendo un conjunto. Sí, una cubierta abierta puede ser finita; en ese caso cada subcubierta es una cubierta finita. Pero eso no es interesante para la compacidad.

El concepto de compacidad surgió al probar que una función continua en un intervalo cerrado cerrado es uniformemente continua. En la prueba epsilon delta, dado epsilon> 0, queremos aproximar la función dentro de epsilon en cada punto del intervalo. Pero si la función es continua, todo lo que sabemos al principio es que podemos encontrar diferentes deltas alrededor de cada punto para lograr el error requerido para todos los puntos en el intervalo definido por delta. Queremos encontrar un delta que funcione para todo el intervalo. La compacidad lo permite. Si puede elegir un número finito de tales intervalos para cubrir todo el intervalo, las superposiciones entre intervalos determinan el delta apropiado para lograr un límite uniforme. Si puede completar los detalles de esta prueba, comprenderá la compacidad.

La cubierta trivial (que consiste en un solo conjunto abierto, el espacio topológico en sí mismo) es abierta y finita.

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