Las monedas que mostrarán cabeza después de M turnos, serían las que se voltearon varias veces. Para cada moneda hay una cierta probabilidad asociada a que sea seleccionada / volteada en cualquier turno dado. Para la moneda [i] con índice i, esto es:
p = 2 * (i) / N * (N-i + 1) / N – 1 / N * 1 / N donde i = [1, N]
(el segundo término negativo es eliminar el exceso de conteo)
para cualquier moneda, la probabilidad de que se seleccione / voltee el número par de veces sería = mC0 (p) ^ 0 (1-p) ^ m + mC2 (p) ^ 2 (1-p) ^ m-2 + … que podría calcularse utilizando la fórmula de expansión binomial:
(p + 1-p) ^ m = mC0 p ^ 0 (1-p) ^ m + mC1 p ^ 1 (1-p) ^ m-1…. + mCm p ^ m (1-p) ^ 0
solo necesitamos la suma de términos con mC0, mC2, mC4 … es decir, términos pares, primero reemplace p + 1-p con -p + 1-p para obtener:
( -p + 1-p) ^ m = mC0 ( -p ) ^ 0 (1-p) ^ m + mC1 ( -p ) ^ 1 (1-p) ^ m-1…. + mCm ( -p ) ^ m (1-P) ^ 0
agregue estas dos series, los términos impares se cancelarían:
mC0 (p) ^ 0 (1-p) ^ m + mC2 (p) ^ 2 (1-p) ^ m-2 +… = 1/2 + 1/2 * (1-2p) ^ m
así que para cualquier índice “i”, P (moneda de lanzamiento uniforme [i]) = P (EFi) = 1/2 + 1/2 * (1-2p (i)) ^ m
Número esperado de moneda mostrando cara = Número esperado de moneda con lanzamiento uniforme
(utilizando la linealidad de la expectativa E (A + B + C + ..) = E (A) + E (B) + E (C) + …)
= P (EF1) + P (EF2) +…. P (EFN)
= 1/2 * N + 1/2 * [(1-2p (1)) ^ m + (1-2p (2)) ^ m +…. 1-2 (p (N)) ^ m)]
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donde p [i] = 2 * (i) / N * (N-i + 1) / N – 1 / N * 1 / N
No es demasiado difícil ver que a medida que m se incrementa a inf, la probabilidad de lanzar una moneda de forma pareja es de 1/2, ya que en esa etapa es igualmente probable seleccionar una moneda impar o par de veces … en ese caso, se espera El número de monedas con cabeza sería N / 2.