Son las 5 am, así que voy a mantener este breve.
Primero, existen los límites obvios de una computadora: tenemos un número finito de estados. Esto significa que, a menos que programe alguna forma inteligente de tratar con continuos (como los números reales), solo puedo aproximar vagamente gran parte del comportamiento. Por ejemplo, realmente no puedo representar pi numéricamente simbólicamente, pero cuando quiero que racionales e irracionales interactúen numéricamente habrá errores. Estos se pueden llamar libremente errores de precisión . Esto se refiere a integrales y derivados, ya que es posible que deba realizar algunos cálculos basados en límites. Sin embargo, para la mayoría de los casos podemos a) trabajar con él formalmente (no es necesario dividir las sumas de Riemann para [matemáticas] \ int_0 ^ 1 x ^ 3 + 1 \, \ mathrm dx [/ matemáticas]) o hacer una buena aproximación ([matemáticas] \ int_0 ^ 1 \ frac {\ cos (\ cos (\ cos (\ theta) * 2) ^ 2)} {\ sin (\ cos (\ sin (\ tan (\ theta))))) + 3} \, \ mathrm d \ theta [/ math] no será divertido trabajar con él, pero con las computadoras podemos obtener una aproximación relativamente buena para esto).
Luego mencionaste los vectores. Esto está relacionado con lo que hablamos anteriormente. Implícito con un vector es un espacio vectorial, e implícito con un espacio vectorial es un campo. Ahora hay dos tipos de campos: finito e infinito. Si es finito, entonces el campo tiene una cardinalidad de potencia principal, y esto aparece mucho en criptografía. De lo contrario, tiene los racionales o los reales o los números complejos o alguna cosa rara del cuaternión (pero no son conmutativos, por lo que no es un campo, ¡sino un módulo tal vez!) El punto es, si desea trabajar con vectores sobre campos finitos te encuentras inmediatamente con lo que mencioné en la parte 1: errores de precisión. Sin embargo, hay muchas aplicaciones en las que esto no es realmente un problema.
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A continuación, hay cosas que una computadora en teoría no puede hacer de manera eficiente (o en absoluto). Examina la teoría de la computación y la teoría de la complejidad . Echa un vistazo a P vs NP . Una de estas cosas (que es lo que honestamente pienso cuando pienso en matemáticas) es encontrar una prueba de una declaración en algún lenguaje formal. Resulta que esto es muy difícil para una computadora.
