En primer lugar, ¿qué quiere decir con “distribuido uniformemente”? Hay muchas formas de distribuir 36 puntos en un triángulo rectángulo isósceles, ¿qué tipo de propiedades desea que tenga su distribución? Es bastante obvio que no quieres los 36 puntos en una esquina, pero aún tenemos muchas opciones para elegir. Una variable común para intentar optimizar aquí es la distancia entre los dos puntos más cercanos : es posible que desee hacer que sea lo más grande posible. En particular, esto asegurará que cada punto tenga una cantidad óptima de “espacio para respirar”: puede dibujar un círculo alrededor de cada punto, de cierto radio r (que hemos hecho lo más grande posible para la forma y el número de puntos dados) , y ninguno de estos círculos se superpondrá.
Si esto es lo que está tratando de hacer, una red hexagonal como se muestra es más eficiente que la red cuadrada estándar. Esto corresponde al hecho de que si desea empaquetar círculos de unidades en el plano, colocar sus centros en puntos que se vean así usará más eficientemente el espacio que colocarlos con sus centros en los puntos de la red cuadrada estándar. Tenga en cuenta que este es en general un buen método de empaque para usar, y funciona bien para un gran número de puntos, pero en algunos casos muy particulares (por ejemplo, 36 puntos en un triángulo rectángulo isósceles), ¡no es necesariamente el mejor!
Ahora considere el siguiente enfoque del problema. Suponga que puede distribuir uniformemente 72 puntos en un cuadrado. Bueno, entonces, si nuestra noción de “distribución uniforme” es razonable, puede esperar que los puntos satisfagan algún tipo de simetría, y luego si dibuja en diagonal y toma una de las dos mitades resultantes (cada una de las cuales es un isósceles a la derecha triángulo), deberías obtener 36 puntos espaciados uniformemente, ¿verdad? En general, podrías intentar espaciar uniformemente los puntos en todo el plano , ¡y luego cortar un triángulo isósceles de un tamaño lo suficientemente grande como para que tengas la cantidad de puntos que deseas! Es por eso que sugerí el empaque hexagonal, que es óptimo para empacar puntos en el avión.
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De todos modos, si está haciendo una pregunta de tipo asintótico, por ejemplo, “Quiero ajustar una gran cantidad de puntos en esta forma de manera regular, de modo que los puntos estén lejos unos de otros, ¿cómo lo hago? “, Entonces el empaque hexagonal que mencioné es el mejor. Si no está tan preocupado por la eficiencia del espacio y, en cambio, tiene un número muy particular de puntos que desea ajustar (como 36), tendrá que usar algunas técnicas más específicas para la forma que está mirando y El número particular de puntos.
(Si está buscando un tipo de empaque “cuadrado” (p. Ej., Donde los puntos forman una red cuadrada), entonces podemos generar algunos de estos empaques utilizando una teoría de números muy básica. Por ejemplo, suponga que desea empacar 37 puntos de manera eficiente y regular en un cuadrado, utilizando una red cuadrada (supongo que los puntos no deben abrazar los bordes, por ejemplo, que debe ser capaz de apilar 4 copias de este cuadrado con 37 puntos en cada una, y el resultado un cuadrado más grande con 148 puntos debería tenerlos espaciados uniformemente. Desafortunadamente, si usa el método ingenuo, hay algún derrame: debe espaciar los puntos a 1/7 de la longitud lateral (en lugar de 1/6 para empacar 36 puntos) ), y estás usando el espacio de manera bastante ineficiente, porque con este método de empaque, ¡hay suficiente espacio para poner un total de 49 puntos! Sin embargo, si giras tu enrejado con respecto a tu forma, tal vez hay una manera de apretar el apunta exactamente como te gustaría. Resulta que puedes hacer esto: para n = 0, 1, 2,…, 36, tome los puntos ({6n / 37}, n / 37), donde {6n / 37} es la parte fraccionaria de 6n / 37. Verá que esto se ajusta uniformemente a 37 puntos en su cuadrado según lo desee, y la red formada es una red cuadrada de longitud lateral 1 / sqrt (37) veces la longitud lateral de la plaza grande, por lo que es tan eficiente como un empaque de red cuadrada puede ser . Por supuesto, esto se debe al hecho muy coincidente de que 37 = 6 ^ 2 + 1!)
EDITAR: primera respuesta que he dado, ¿alguien sabe una buena manera de incrustar LaTeX aquí?
