Creo que quiso decir “un polinomio con coeficientes enteros [o coeficientes racionales]”, de lo contrario, podría usar [math] x – \ sqrt {2} – \ sqrt [4] {3} = 0 [/ math], que es de grado 1, pero no muy útil.
De todos modos, en general, si [math] \ alpha [/ math] es la raíz de un polinomio con coeficientes racionales de grado [math] d_1 [/ math] y [math] \ beta [/ math] es la raíz de tal polinomio de grado [matemático] d_2 [/ matemático], entonces [matemático] \ alpha + \ beta [/ matemático] puede escribirse como la raíz de dicho polinomio de grado [matemático] d_1d_2 [/ matemático] (y tal vez más pequeño, ese polinomio podría factorizar. Entonces, en su ejemplo, sabemos que podemos hacerlo con un polinomio de grado 8. [Esto se desprende de un hecho general sobre las extensiones de campo algebraico, cuyos detalles probablemente están más allá del alcance inmediato de su pregunta, vea Grado de una extensión de campo – Wikipedia …]
Pero probablemente quería una construcción explícita, el polinomio de octavo grado que buscaremos será el producto de ocho términos [matemática] (x-r_1) (x-r_2) (x-r_3) \ cdots (x-r_8) [/ math]
donde obtienes las cuatro raíces r_i considerando todas las sumas de la forma [math] \ pm \ sqrt {2} \ pm \ sqrt [4] {3} [/ math] (con los dos “más o menos” siendo hecho independientemente) y las otras cuatro raíces al considerar todas las sumas de la forma [math] \ pm \ sqrt {2} \ pm \ sqrt [4] {3} i [/ math]
Podrías simplemente multiplicar todo eso (obtienes [matemáticas] x ^ 8 – 8 x ^ 6 + 18 x ^ 4 – 104 x ^ 2 + 1 [/ matemáticas]) Pero incluso sin hacer eso, puedes ver este polinomio debe tener coeficientes enteros al emparejar los términos adecuadamente:
Considere [matemáticas] (x – (\ sqrt {2} + \ alpha)) (x – (\ sqrt {2} – \ alpha)) = (x- \ sqrt {2}) ^ 2 – \ alpha ^ 2 [ /matemáticas]
así que si eliges [math] \ alpha [/ math] para ser [math] \ sqrt [4] {3} [/ math] entonces cubrimos las dos raíces de [math] \ sqrt {2} \ pm \ sqrt [ 4] {3} [/ math] obtienes [math] (x- \ sqrt {2}) ^ 2 – \ sqrt {3} [/ math]
y si haces lo mismo con [math] \ alpha [/ math] uno de [math] \ sqrt [4] {3} i [/ math], cubriendo dos raíces más, obtienes [math] (x- \ sqrt {2}) ^ 2 + \ sqrt {3} [/ math]
y multiplicando AQUELLOS juntos da [matemáticas] (x- \ sqrt {2}) ^ 4 -3 [/ matemáticas]
Pero hacer lo mismo con las otras cuatro raíces (es decir, usar [matemáticas] (x – (- \ sqrt {2} + \ alpha)) (x – (- \ sqrt {2} – \ alpha)) = (x + \ sqrt {2}) ^ 2 – \ alpha ^ 2 [/ math]
y luego elija [math] \ alpha [/ math] para ser primero [math] \ sqrt [4] {3} [/ math] y luego [math] \ sqrt [4] {3} i [/ math]
obtienes [matemáticas] (x + \ sqrt {2}) ^ 4 -3 [/ matemáticas]
Finalmente, multiplicando [math] (x- \ sqrt {2}) ^ 4 -3 [/ math] por [math] (x + \ sqrt {2}) ^ 4 -3 [/ math]
da [matemáticas] (x- \ sqrt {2}) ^ 4 (x + \ sqrt {2}) ^ 4 -3 ((x + \ sqrt {2}) ^ 4+ (x- \ sqrt {2}) ^ 4 ) + 9 [/ matemáticas]
Nuevamente, podríamos multiplicarlo, en realidad no es tan malo, pero si solo queremos asegurarnos de que esto se simplifica a un polinomio con coeficientes enteros:
El primer término, [matemáticas] (x- \ sqrt {2}) ^ 4 (x + \ sqrt {2}) ^ 4 = (x ^ 2-2) ^ 4 [/ matemáticas] claramente tendrá solo coeficientes enteros si usted Expandelo .
El término medio – [matemáticas] 3 ((x + \ sqrt {2}) ^ 4+ (x- \ sqrt {2}) ^ 4) [/ matemáticas] es la suma de dos binomios. Si las expande, las raíces cuadradas desaparecerán de todos los términos de grado par, pero los términos de grado impar en cada binomio tendrán un signo opuesto y se cancelarán cuando los agregue
y no debemos preocuparnos por las [matemáticas] + 9 [/ matemáticas]
