Las primeras nociones de número no clasificaban cero y uno como números.
Luego vinieron enteros negativos, y luego fracciones.
Con todas estas extensiones, la ecuación simple
- ¿Cuáles son los problemas que no podemos resolver debido a los límites de la computación?
- ¿Cuál es la relevancia de la computación cuántica para el problema NP = P?
- ¿Cuáles son algunos problemas simplemente en teoría de grafos o combinatoria para estudiantes universitarios?
- ¿Por qué la mayoría de los informáticos tienen un título en matemáticas?
- ¿Es la teoría de la computación el tema 'inferior' de la informática?
x ^ 2 = 2
Todavía no tenía una solución completa (aunque hay muy buenas aproximaciones).
Los seguidores de Pitágoras, eran tanto un culto religioso como un cuerpo de investigación científica, pensaban que eras un hereje al imaginar ecuaciones “irracionales” para tener soluciones “perfectas” (exactas)
Incluso con números “negativos”, había preguntas filosóficas sobre qué significaba una cantidad negativa, y había situaciones en las que no se aplicaba. Por lo tanto, se estableció el escenario: no todos los tipos de números eran igualmente significativos, a pesar de que los operadores aritméticos (sumar, restar, multiplicar, dividir) siguen siendo los mismos para todos los tipos.
Las extensiones procedieron en dos direcciones diferentes.
Uno proporcionó soluciones para
x ^ 2 = 2
(como antes) y de hecho a muchas (no todas) ecuaciones con coeficientes enteros. Ahora se denominan “números algebraicos”, pero en los 15 siglos transcurridos entre los pitagóricos y la creación del concepto formal de números algebraicos, dichos números fueron etiquetados como “irracionales”, es decir, no formaban parte del pensamiento racional. En términos digitales, las computadoras modernas, como la PC de IBM, no tienen “números reales”, sino aproximaciones de 80 y 64 bits (los registros de coma flotante tienen 80 bits, que incluyen 16 bits para mejorar la precisión de los cálculos intermedios realizados enteramente dentro del sistema de instrucción flotante).
Del mismo modo, para resolver
x ^ 2 = -1
ningún número normalmente concebido funcionaría, pero al agregar un nuevo número resolvería el problema, no solo para esta ecuación, sino para todas las demás. Evariste Galois pudo demostrar que este era el final de la línea (no se necesitaban más extensiones para resolver ninguna otra ecuación con coeficiente entero).
No hay nada de malo en esto, pero quizás sea un poco arbitrario.
Por ejemplo, habiendo dicho que i es la raíz cuadrada de -1, aquí hay algunas preguntas de seguimiento:
- ¿Cuál es la segunda raíz cuadrada de -1? Respuesta (-i)
- ¿Cuáles son las raíces cuadradas de i (Respuesta: [matemáticas] (1 + i) / \ sqrt {2} [/ matemáticas], [matemáticas] – (1 + i) / \ sqrt {2}) [/ matemáticas]
- ¿Puede calcular la raíz cuadrada de cualquier número complejo complejo (partes reales + imaginarias) con operaciones de raíz cuadrada real (Sí, puede, se necesitan 3 extracciones de raíz cuadrada real)
- ¿Puedes extender esto al cubo y a la quinta raíz de números complejos (¡No!)
Como habrá escuchado, la fórmula cuadrática se puede extender a fórmulas para ecuaciones cúbicas (3er grado) y cuárticas (4to grado). En cada caso, deberá evaluar una raíz cúbica, que puede ser de una cantidad compleja, aunque las tres raíces de la ecuación sean reales (no complejas). Cualquier intento de evaluar esta raíz cúbica conduce de nuevo a la misma ecuación. Esto confundió a Cardano y otros tipos que trabajaron en estas ecuaciones.
Cada vez que necesitaban una extensión del concepto de “número”, el nombre del nuevo número se volvía extraño:
negativo
racional (fracción)
irracional
imaginario (antiguo nombre para “complejo”, o en ocasiones significa “complejo con 0 partes reales”)
En cualquier caso, hay más extensiones del concepto de número, cada una con su propósito. Se aplica cuando se aplican las circunstancias que lo definen.
Para dar un ejemplo adicional, es tomar un bloque de dígitos binarios (bits) e interpretarlos como elementos de un campo de Galois (un campo de tamaño finito 2 ^ k para cualquier k) y así obtener un código binario . Luego, puede (con muchos pasos adicionales) corregir el error que se realiza en los datos de los CD y DVD para que sean tolerantes a la degradación de la superficie y al salto (movimiento de un vehículo mientras está en uso).
Esto es práctico pero arbitrario: los símbolos significan lo que acordamos que signifiquen.
